Mostre que se a, b e c são as medidas dos lados opostos aos respectivos ângulos A, B e C de um triângulo ABC qualquer, então
\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ \operatorname{sen}(A) & \operatorname{sen}(B) & \operatorname{sen}\text{(C)} \end{array}\right|
é nulo.

Passo 1

O enunciado dá que a,b,c são as medidas dos lados opostos aos ângulos A,B,C de um triângulo ABC qualquer. Pede para mostrar que o determinante
\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ \operatorname{sen}(A) & \operatorname{sen}(B) & \operatorname{sen}\text{(C)} \end{array}\right|
é nulo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As letras a,b,c são os comprimentos dos lados opostos aos ângulos A,B,C, respectivamente.
  • O determinante a avaliar tem três linhas: a linha de uns, a linha dos comprimentos a,b,c e a linha dos senos \operatorname{sen}(A),\operatorname{sen}(B),\operatorname{sen}\text{(C)}.
  • Objetivo: provar que esse determinante vale zero.

Passo 2

Vamos usar uma relação básica entre lados e senos num triângulo: a Lei dos Senos (ou, geometricamente, a relação entre comprimento de corda e o raio da circunferência circunscrita). Vou explicar e deduzir a forma que precisamos.
Considere o circuncentro O do triângulo ABC e o raio da circunferência circunscrita R=OA=OB=OC. O lado a é o segmento BC, que é uma corda da circunferência. O arco correspondente a BC no centro subtende ângulo 2A (porque o ângulo no vértice A subtende metade do ângulo central). No triângulo isósceles BOC com OB=OC=R e ângulo no centro igual a 2A, ao traçar a perpendicular de O a BC obtém-se um triângulo retângulo em que a metade do lado a aparece como cateto oposto ao ângulo A e a hipotenusa vale R. Assim vale a razão
\sin(A)=\frac{a/2}{R}.
Dessa igualdade obtemos a forma útil
a = 2R\,\sin(A).
De modo idêntico obtém-se
b = 2R\,\sin(B),\qquad c = 2R\,\sin\text{(C)}.
Essa é a Lei dos Senos escrita como a=2R\sin(A), etc. Aqui R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo (um número comum aos três lados), e \sin(A),\sin(B),\sin\text{(C)} são os senos dos ângulos do triângulo.

Passo 3

Agora substituímos essas expressões no determinante. A segunda linha (a,b,c) pode ser escrita como
(a,b,c) = (2R\sin(A),\;2R\sin(B),\;2R\sin\text{(C)}) = 2R\cdot(\sin(A),\sin(B),\sin\text{(C)}).
Ou seja, a segunda linha é exatamente 2R vezes a terceira linha.

Passo 4

Quando uma linha de um determinante é proporcional a outra (ou idêntica a outra multiplicada por uma constante), o determinante vale zero. Para ver isso de forma elementar, aplique a operação elementar de linha: subtraia 2R vezes a terceira linha da segunda linha. Isso transforma a segunda linha em zero:
( a,b,c ) - 2R\cdot(\sin(A),\sin(B),\sin\text{(C)}) = (0,0,0).
Uma matriz com uma linha nula tem determinante igual a zero. Portanto o determinante dado é nulo.

Resposta

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