Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.
a)
a)
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
definido por
O que é pedido:
- Verificar se
é um subespaço vetorial de (com as operações usuais). - Se for subespaço, apresentar uma base de
e informar a dimensão de .
Passo 2
Lembrete prático (definição que vou usar): para mostrar que um subconjunto
é subespaço vetorial basta verificar três propriedades simples:
-
contém o vetor zero. -
é fechado sob adição: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Vou checar essas propriedades uma a uma, explicando cada passo com calma.
Passo 3
Verificar se o vetor zero pertence a
.
O vetor zero em
é
. Tomando
e
na definição de
obtemos
Portanto
. Logo
é não-vazio e contém o vetor zero.
Passo 4
Verificar fechamento por adição.
Sejam
com
.
Então
Então
Agrupando termos na terceira coordenada:
Sejam
e
; então
com
. Pela forma que define
, isso significa
. Logo
é fechado por adição.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Seja
e
. Então
Tomando
e
(que são reais), obtemos
ou seja
. Portanto
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão parcial sobre subespaço.
Como
contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Encontrar uma descrição geradora (span) de
— isto ajuda a achar uma base.
Qualquer vetor de
pode ser escrito, usando
, como
Logo todo vetor de
é combinação linear dos vetores
Portanto
Passo 8
Verificar se
é linearmente independente (para ser base).
Considere escalares
tais que
Escrevendo coordenadas:
Comparando coordenadas obtemos o sistema
Da primeira equação
; substituindo na segunda obtemos
. Portanto
é a única solução, o que mostra que
e
são linearmente independentes.
Passo 9
Conclusão sobre base e dimensão.
Como
gera
e é linearmente independente, ela é uma base de
. O número de vetores da base é
, então a dimensão de
é
.
Resposta
Sim;