Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.
a) V=\{(0, x, x+y): a, b \in R\} \subset R^{3}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto V\subset\mathbb{R}^{3} definido por
V=\{(0,x,x+y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.
O que é pedido:
  • Verificar se V é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} (com as operações usuais).
  • Se for subespaço, apresentar uma base de V e informar a dimensão de V.

Passo 2

Lembrete prático (definição que vou usar): para mostrar que um subconjunto W\subset\mathbb{R}^{n} é subespaço vetorial basta verificar três propriedades simples:
  1. W contém o vetor zero.
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c\,u\in W.
Vou checar essas propriedades uma a uma, explicando cada passo com calma.

Passo 3

Verificar se o vetor zero pertence a V.
O vetor zero em \mathbb{R}^{3} é (0,0,0). Tomando x=0 e y=0 na definição de V obtemos
(0,x,x+y)=(0,0,0).
Portanto (0,0,0)\in V. Logo V é não-vazio e contém o vetor zero.

Passo 4

Verificar fechamento por adição.
Sejam
u=(0,x_{1},x_{1}+y_{1})\in V\quad\text{e}\quad v=(0,x_{2},x_{2}+y_{2})\in V,
com x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\in\mathbb{R}.
Então
u+v=(0,x_{1}+x_{2},(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})).
Agrupando termos na terceira coordenada:
u+v=(0,x_{1}+x_{2},(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})).
Sejam x'=x_{1}+x_{2} e y'=y_{1}+y_{2}; então
u+v=(0,x',x'+y'),
com x',y'\in\mathbb{R}. Pela forma que define V, isso significa u+v\in V. Logo V é fechado por adição.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Seja u=(0,x,x+y)\in V e c\in\mathbb{R}. Então
c\,u=(0,cx,c(x+y))=(0,cx,cx+cy).
Tomando x'=cx e y'=cy (que são reais), obtemos
c\,u=(0,x',x'+y'),
ou seja c\,u\in V. Portanto V é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão parcial sobre subespaço.
Como V contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que V é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

Passo 7

Encontrar uma descrição geradora (span) de V — isto ajuda a achar uma base.
Qualquer vetor de V pode ser escrito, usando x,y\in\mathbb{R}, como
(0,x,x+y)=(0,x,x)+(0,0,y)=x(0,1,1)+y(0,0,1).
Logo todo vetor de V é combinação linear dos vetores
v_{1}=(0,1,1)\quad\text{e}\quad v_{2}=(0,0,1).
Portanto
V=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}.

Passo 8

Verificar se \{v_{1},v_{2}\} é linearmente independente (para ser base).
Considere escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha v_{1}+\beta v_{2}=(0,0,0).
Escrevendo coordenadas:
\alpha(0,1,1)+\beta(0,0,1)=(0,\alpha,\alpha+\beta)=(0,0,0).
Comparando coordenadas obtemos o sistema
\alpha=0,\qquad \alpha+\beta=0.
Da primeira equação \alpha=0; substituindo na segunda obtemos \beta=0. Portanto \alpha=\beta=0 é a única solução, o que mostra que v_{1} e v_{2} são linearmente independentes.

Passo 9

Conclusão sobre base e dimensão.
Como \{v_{1},v_{2}\} gera V e é linearmente independente, ela é uma base de V. O número de vetores da base é 2, então a dimensão de V é 2.

Resposta

Sim; \{(0,1,1),(0,0,1)\}
\dim V=2

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