Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
é formado pelas funções
que possuem
derivadas contínuas em
(Este espaço é denotado por
;
Passo 1
O enunciado diz que temos o espaço vetorial E=
de todas as funções reais em [a,b] e o subconjunto F=
das funções que têm até a n-ésima derivada contínua. Queremos verificar se F é subespaço de E, isto é: (i) contém a função zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a função zero. A função zero definida por
para todo x em [a,b] tem todas as derivadas nulas e, portanto, contínuas. Logo,
.
Passo 3
Agora, fechamos sob adição. Se
, então suas derivadas de ordem até n são contínuas. Sabemos pela teoria de cálculo que a derivada de soma é soma das derivadas, ou seja, para cada k=0,1,…,n vale
[(f+g){(k)}(x)=f{(k)}(x)+g^{(k)}(x)],
e a soma de duas funções contínuas é contínua. Logo .
[(f+g){(k)}(x)=f{(k)}(x)+g^{(k)}(x)],
e a soma de duas funções contínuas é contínua. Logo
Passo 4
Por fim, fechamos sob multiplicação por escalar. Se
e
, então para cada k=0,1,…,n temos
[(\alpha f){(k)}(x)=\alpha\,f{(k)}(x)],
e como produto de contínua por escalar é contínua, segue .
[(\alpha f){(k)}(x)=\alpha\,f{(k)}(x)],
e como produto de contínua por escalar é contínua, segue
Resposta
Sim. O conjunto C^n([a,b],\mathbb{R}) é um subespaço vetorial de E.