Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=mathscrF([a, b], R) :
F é formado pelas funções f in E que possuem n derivadas contínuas em [a, b] (Este espaço é denotado por ;

Passo 1

O enunciado diz que temos o espaço vetorial E= mathscrF([a,b],R) de todas as funções reais em [a,b] e o subconjunto F= C^n([a,b],R) das funções que têm até a n-ésima derivada contínua. Queremos verificar se F é subespaço de E, isto é: (i) contém a função zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a função zero. A função zero definida por f0(x)=0 para todo x em [a,b] tem todas as derivadas nulas e, portanto, contínuas. Logo, f0in C^n([a,b],R).

Passo 3

Agora, fechamos sob adição. Se f,gin C^n([a,b],R), então suas derivadas de ordem até n são contínuas. Sabemos pela teoria de cálculo que a derivada de soma é soma das derivadas, ou seja, para cada k=0,1,…,n vale
[(f+g){(k)}(x)=f{(k)}(x)+g^{(k)}(x)],
e a soma de duas funções contínuas é contínua. Logo f+gin C^n([a,b],R).

Passo 4

Por fim, fechamos sob multiplicação por escalar. Se fin C^n([a,b],R) e alphainR, então para cada k=0,1,…,n temos
[(\alpha f){(k)}(x)=\alpha\,f{(k)}(x)],
e como produto de contínua por escalar é contínua, segue alpha fin C^n([a,b],R).

Resposta

Sim. O conjunto C^n([a,b],\mathbb{R}) é um subespaço vetorial de E.

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