Encontre as soluções de mínimos quadrados dos seguintes sistemas:
lll1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 1 & 2 & 4 1 & 3 & 9

Passo 1

O problema é ajustar uma parábola y = a + b x + c x^2 aos pontos (xi,yi) = (0,0,1),(1,3,3),(2,7,8),(3,14) no sentido de mínimos quadrados, ou seja, achar (a,b,c) que minimize |Ax - y|^2. Vamos usar o método dos mínimos quadrados e as equações normais.

Passo 2

Para aplicar mínimos quadrados, montamos as equações normais
(A^T A)abc = A^T y,
onde
A = 1&0&01&1&11&2&41&3&9, y=0,13,37,814

Passo 3

Calculamos as somas necessárias:

Passo 4

Com essas somas, as normais ficam:
$$
4 & 6 & 146 & 14 & 3614 & 36 & 98 abc = 25,260,9160,5
c = 0,75, b = 2,37, a = 0,12

.
$$
Resolvendo esse sistema por eliminação de Gauss, obtemos:

Passo 5

Assim encontramos a melhor parábola em mínimos quadrados que ajusta os pontos dados.

Resposta

a = 0,12,; b = 2,37,; c = 0,75

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