Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=mathscrF([a, b], R) :
F é formado pelas funções f in E tais que f(x)^2-2 f(x)=11;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto F de E= mathscrF([a,b],R), formado por todas as funções f que satisfazem f(x)^2 - 2f(x) = 11 para todo x em [a,b], é de fato um subespaço vetorial. Vamos usar a teoria de subespaços vetoriais.

Passo 2

Para F ser um subespaço de E, três condições precisam valer: (i) conter o vetor zero; (ii) ser fechado sob soma de vetores; (iii) ser fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 3

Verificamos a condição (i): a função zero f0(x)=0 deve pertencer a F. Mas para f0 temos
f0(x)^2 - 2f0(x) = 0^2 - 2cdot0 = 0 neq 11
Logo, f0 não está em F.

Passo 4

Como F não contém o vetor zero, já concluímos que F falha em ser um subespaço vetorial de E. Não é necessário checar as demais condições.

Passo 5

Portanto, F não é um subespaço vetorial de E.

Resposta

F não é um subespaço vetorial de E.

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