Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
é formado pelas funções
tais que
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto F de E=
, formado por todas as funções f que satisfazem
para todo x em [a,b], é de fato um subespaço vetorial. Vamos usar a teoria de subespaços vetoriais.
Passo 2
Para F ser um subespaço de E, três condições precisam valer: (i) conter o vetor zero; (ii) ser fechado sob soma de vetores; (iii) ser fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 3
Verificamos a condição (i): a função zero
deve pertencer a F. Mas para
temos
Logo,
não está em F.
Passo 4
Como F não contém o vetor zero, já concluímos que F falha em ser um subespaço vetorial de E. Não é necessário checar as demais condições.
Passo 5
Portanto, F não é um subespaço vetorial de E.
Resposta
F não é um subespaço vetorial de E.