Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=mathscrF([a, b], R) :
F é formado pelas soluções da equação diferencial f^prime prime(x)-x^2 f^prime(x)+x f(x)=0;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto F de todas as funções f∈E que satisfazem a equação diferencial homogênea f''(x)-x^2f'(x)+x f(x)=0 forma um subespaço vetorial de E=mathscrF([a,b],R). O conteúdo principal é teoria de espaços vetoriais e operadores lineares.

Passo 2

Definimos o operador linear L:mathscrF([a,b],R)tomathscrF([a,b],R) dado por L(f)(x)=f''(x)-x^2f'(x)+x f(x) O conjunto F é o núcleo de L, ou seja, (F={f\mid L(f)=0}.]

Passo 3

Como L é feito só de soma e multiplicação por funções fixas ( -x^2 e x), ele satisfaz L(alpha f+beta g)=alpha L(f)+beta L(g) para quaisquer funções f,g e escalares alpha,beta. Isso mostra que L é um operador linear.

Passo 4

Em particular, L(0)=0, então a função nula está em F. Além disso, se f,gin F, então L(f+g)=L(f)+L(g)=0+0=0, logo f+gin F.

Passo 5

Finalmente, para qualquer escalar lambda e fin F, L(lambda f)=lambda L(f)=lambdacdot 0=0, então lambda fin F.

Passo 6

Como F contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que F é subespaço vetorial de E.

Resposta

Sim. Como o conjunto de soluções de uma equação diferencial linear homogênea é o núcleo de um operador linear, F é subespaço vetorial de E.

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