Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
é formado pelas soluções da equação diferencial
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto F de todas as funções f∈E que satisfazem a equação diferencial homogênea
forma um subespaço vetorial de
. O conteúdo principal é teoria de espaços vetoriais e operadores lineares.
Passo 2
Definimos o operador linear
dado por
O conjunto
é o núcleo de
, ou seja, (F={f\mid L(f)=0}.]
Passo 3
Como
é feito só de soma e multiplicação por funções fixas (
e
), ele satisfaz
para quaisquer funções
e escalares
. Isso mostra que
é um operador linear.
Passo 4
Em particular,
, então a função nula está em
. Além disso, se
, então
, logo
.
Passo 5
Finalmente, para qualquer escalar
e
,
, então
.
Passo 6
Como
contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Resposta
Sim. Como o conjunto de soluções de uma equação diferencial linear homogênea é o núcleo de um operador linear, F é subespaço vetorial de E.