Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
é formado pelas soluções da equação diferencial
que satisfazem
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
F={f∈E : f’’(x)−x²f’(x)+x f(x)=0 e f(a)=0, f(b)=0}
é subespaço vetorial de E=𝓕([a,b],ℝ). Vamos usar teoria de subespaço: é preciso mostrar que F contém o zero, é fechado em soma e multiplicação escalar.
F={f∈E : f’’(x)−x²f’(x)+x f(x)=0 e f(a)=0, f(b)=0}
é subespaço vetorial de E=𝓕([a,b],ℝ). Vamos usar teoria de subespaço: é preciso mostrar que F contém o zero, é fechado em soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Em primeiro lugar, note que o operador diferencial
é linear e homogêneo. Isso significa que se e
satisfazem
e
, então qualquer combinação linear
também satisfaz
. Logo, o conjunto de todas as soluções da EDO homogênea é um subespaço de E.
é linear e homogêneo. Isso significa que se
Passo 3
As condições de contorno
e
podem ser vistas como dois funcionais lineares
e
.
O núcleo de cada funcional é subespaço, e quem satisfaz ambas simultaneamente é a interseção desses núcleos, portanto também um subespaço.
podem ser vistas como dois funcionais lineares
O núcleo de cada funcional é subespaço, e quem satisfaz ambas simultaneamente é a interseção desses núcleos, portanto também um subespaço.
Passo 4
A função zero
obviamente satisfaz a EDO e as condições
, então
. Além disso, se
então
e
logo . Similarmente, para todo escalar
,
e
portanto .
e
logo
e
portanto
Passo 5
Como as soluções da EDO formam subespaço e as condições de contorno impõem restrições lineares, sua interseção é subespaço. Concluímos que F é subespaço vetorial de E.
Resposta
Sim, F é subespaço vetorial de E.