Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=mathscrF([a, b], R) :
F é formado pelas soluções da equação diferencial f^prime prime(x)-x^2 f^prime(x)+x f(x)=0 que satisfazem f(a)=f(b)=0;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
F={f∈E : f’’(x)−x²f’(x)+x f(x)=0 e f(a)=0, f(b)=0}
é subespaço vetorial de E=𝓕([a,b],ℝ). Vamos usar teoria de subespaço: é preciso mostrar que F contém o zero, é fechado em soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Em primeiro lugar, note que o operador diferencial
L(f)=f''(x)−x²f'(x)+xf(x)²
é linear e homogêneo. Isso significa que se f e g satisfazem L(f)=0 e L(g)=0, então qualquer combinação linear αf+βg também satisfaz L(αf+βg)=0. Logo, o conjunto de todas as soluções da EDO homogênea é um subespaço de E.

Passo 3

As condições de contorno
f(a)=0 e f(b)=0
podem ser vistas como dois funcionais lineares
ℓ1(f)=f(a) e ℓ2(f)=f(b).
O núcleo de cada funcional é subespaço, e quem satisfaz ambas simultaneamente é a interseção desses núcleos, portanto também um subespaço.

Passo 4

A função zero f0(x)=0 obviamente satisfaz a EDO e as condições f0(a)=f0(b)=0, então 0∈F. Além disso, se f,g∈F então
L(f+g)=L(f)+L(g)=0+0=0
e
(f+g)(a)=0+0=0,(f+g)(b)=0+0=0,
logo f+g∈F. Similarmente, para todo escalar α,
L(αf)=αL(f)=0
e
(αf)(a)=α⋅0=0,;(αf)(b)=0,
portanto αf∈F.

Passo 5

Como as soluções da EDO formam subespaço e as condições de contorno impõem restrições lineares, sua interseção é subespaço. Concluímos que F é subespaço vetorial de E.

Resposta

Sim, F é subespaço vetorial de E.

Exercícios relacionados