Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=R^n :
n=3, F=(x, y, z): x+y+z=0,2 x+3 y-z=0

Passo 1

Neste exercício precisamos verificar se F=(x,y,z)in R^3:;x+y+z=0,;2x+3y-z=0 como subconjunto de E= R^3 é subespaço vetorial. O conteúdo envolve teoria de subespaços e sistemas lineares homogêneos. Vamos usar a definição de subespaço e a propriedade de que a solução de um sistema homogêneo forma subespaço.

Passo 2

Lembrando da definição, um subconjunto F de um espaço vetorial E é subespaço se satisfaz três condições: (i) o vetor zero está em F, (ii) é fechado sob soma de vetores e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar. No caso de um sistema homogêneo de equações lineares, soma e escalar de soluções continuam sendo soluções, pois não há termos constantes.

Passo 3

As equações que definem F são homogêneas: x+y+z=0 e 2x+3y-z=0. Logo, (0,0,0) claramente satisfaz ambas. Se u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) satisfazem o sistema, então para u+v temos
(x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)=0+0=0,
2(x1+x2)+3(y1+y2)-(z1+z2)=0+0=0,
e para lambda u temos
lambda x1+lambda y1+lambda z1=lambda(x1+y1+z1)=lambdacdot0=0,
2(lambda x1)+3(lambda y1)-(lambda z1)=lambda(2x1+3y1-z1)=lambdacdot0=0

Passo 4

Isso mostra que F contém o zero e é fechado sob soma e escalar, logo é subespaço.

Passo 5

Para ilustrar, podemos parametrizar F. Resolva o sistema:
x+y+z=0,
2x+3y-z=0

Passo 6

Somando as duas:
3x+4y=0Rightarrow y=-tfrac34x

Passo 7

Substituindo em x+y+z=0:
z=-x-y=-x+tfrac34x=-tfrac14x

Passo 8

Logo
(x,y,z)=xl(1,-tfrac34,-tfrac14r), xin R

Passo 9

Isso mostra que F é uma reta passando pela origem, de dimensão 1.

Passo 10

Assim, F satisfaz todos os critérios de subespaço vetorial de R^3.

Resposta

Sim. F é subespaço vetorial de R^3, de dimensão 1, por exemplo com base {(1,-\tfrac34,-\tfrac14)}.

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