Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
Passo 1
Neste exercício precisamos verificar se
como subconjunto de
é subespaço vetorial. O conteúdo envolve teoria de subespaços e sistemas lineares homogêneos. Vamos usar a definição de subespaço e a propriedade de que a solução de um sistema homogêneo forma subespaço.
Passo 2
Lembrando da definição, um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se satisfaz três condições: (i) o vetor zero está em
, (ii) é fechado sob soma de vetores e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar. No caso de um sistema homogêneo de equações lineares, soma e escalar de soluções continuam sendo soluções, pois não há termos constantes.
Passo 3
As equações que definem
são homogêneas:
e
. Logo,
claramente satisfaz ambas. Se
e
satisfazem o sistema, então para
temos
e para
Passo 4
Isso mostra que
contém o zero e é fechado sob soma e escalar, logo é subespaço.
Passo 5
Para ilustrar, podemos parametrizar
. Resolva o sistema:
Passo 6
Somando as duas:
Passo 7
Substituindo em
:
Passo 8
Logo
Passo 9
Isso mostra que
é uma reta passando pela origem, de dimensão 1.
Passo 10
Assim,
satisfaz todos os critérios de subespaço vetorial de
.
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
, de dimensão 1, por exemplo com base {(1,-\tfrac34,-\tfrac14)}.