Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de :
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
E = e
F = { ∈ :
x+y+z=0,
2x+3y−z=0,
4x−y+z=0}
é subespaço vetorial de E. O conteúdo principal aqui é o de sistemas lineares homogêneos e a ideia de que o conjunto solução de um sistema homogêneo é sempre um subespaço (é o núcleo de uma transformação linear).
Passo 2
Para entender melhor o que sai em F, vamos montar a matriz aumentada do sistema e usar eliminação de Gauss:
Subtraímos 2×linha1 de linha2 e 4×linha1 de linha3:
Da última linha vem -18z=0 ⇒ z=0. Subindo, da segunda linha y-3z=0 ⇒ y=0, e da primeira x+y+z=0 ⇒ x=0.
Passo 3
Concluímos que a única solução é (x,y,z)=(0,0,0), ou seja,
F=(0,0,0)
Qualquer subespaço deve conter o vetor zero e ser fechado em soma e multiplicação escalar. Aqui F contém apenas o vetor zero, mas isso já garante fechamento: soma de zeros dá zero, escalar vezes zero dá zero.
Passo 4
Como F é exatamente o espaço gerado pelo vetor nulo (o subespaço trivial), ele satisfaz todas as propriedades de subespaço vetorial de R^3.
Resposta
F é um subespaço vetorial de R^3, sendo na verdade o subespaço trivial (0,0,0).