Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=R^n :
n=3, F=(x, y, z): x+y+z=0,2 x+3 y-z=0,4 x-y+z=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
E = R^3 e
F = { (x,y,z) R^3 :
x+y+z=0,
2x+3y−z=0,
4x−y+z=0}
é subespaço vetorial de E. O conteúdo principal aqui é o de sistemas lineares homogêneos e a ideia de que o conjunto solução de um sistema homogêneo é sempre um subespaço (é o núcleo de uma transformação linear).

Passo 2

Para entender melhor o que sai em F, vamos montar a matriz aumentada do sistema e usar eliminação de Gauss:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 2 & 3 & -1 & 0 4 & -1 & 1 & 0 ]
  1. Subtraímos 2×linha1 de linha2 e 4×linha1 de linha3:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & -3 & 0 0 & -5 & -3 & 0 ]
  1. Agora somamos 5×linha2 em linha3:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & -3 & 0 0 & 0 & -18 & 0 ]
  1. Da última linha vem -18z=0 z=0. Subindo, da segunda linha y-3z=0 y=0, e da primeira x+y+z=0 x=0.

Passo 3

Concluímos que a única solução é (x,y,z)=(0,0,0), ou seja,
F=(0,0,0)
Qualquer subespaço deve conter o vetor zero e ser fechado em soma e multiplicação escalar. Aqui F contém apenas o vetor zero, mas isso já garante fechamento: soma de zeros dá zero, escalar vezes zero dá zero.

Passo 4

Como F é exatamente o espaço gerado pelo vetor nulo (o subespaço trivial), ele satisfaz todas as propriedades de subespaço vetorial de R^3.

Resposta

F é um subespaço vetorial de R^3, sendo na verdade o subespaço trivial (0,0,0).

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