Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=R^n :
n=4, F=(x, y, z, w): x-y+z-w=0,2 x-5 y-z+4 w=0,3 x+y+w=0

Passo 1

Estamos em E= R^4 e o subconjunto F é dado pelas soluções do sistema homogêneo: três equações lineares em quatro incógnitas. Para verificar se F é subespaço, vamos usar o teste clássico: mostrar que o vetor zero está em F, que F é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

O vetor zero (0,0,0,0) satisfaz cada equação homogênea. Substituindo na primeira:
0 - 0 + 0 - 0 = 0,
na segunda:
2cdot0 - 5cdot0 - 0 + 4cdot0 = 0,
e na terceira:
3cdot0 + 0 + 0 = 0
Logo, (0,0,0,0)in F.

Passo 3

Seja u=(x1,y1,z1,w1) e v=(x2,y2,z2,w2) dois vetores em F, ou seja, cada um satisfaz as três equações. Então em cada equação a soma
(x1 + x2) - (y1 + y2) + (z1 + z2) - (w1 + w2) = (x1 - y1 + z1 - w1) + (x2 - y2 + z2 - w2) = 0 + 0 = 0,
e análogas para as demais. Isso mostra que u+v também satisfaz o sistema, logo u+vin F.

Passo 4

Para qualquer escalar alphainR e u=(x,y,z,w)in F, cada equação aplicada em alpha u
alpha x - alpha y + alpha z - alpha w = alpha(x - y + z - w) = alphacdot 0 = 0,
e o mesmo vale para as outras duas equações. Isso mostra que alpha uin F.

Passo 5

Como F contém o zero, é fechado sob soma e multiplicação por escalar, F é subespaço vetorial de R^4.

Resposta

Sim, F é um subespaço vetorial de R^4.

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