Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
Passo 1
Estamos em E=
e o subconjunto F é dado pelas soluções do sistema homogêneo: três equações lineares em quatro incógnitas. Para verificar se F é subespaço, vamos usar o teste clássico: mostrar que o vetor zero está em F, que F é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
O vetor zero
satisfaz cada equação homogênea. Substituindo na primeira:
na segunda:
e na terceira:
Logo,
Passo 3
Seja
e
dois vetores em F, ou seja, cada um satisfaz as três equações. Então em cada equação a soma
e análogas para as demais. Isso mostra que
Passo 4
Para qualquer escalar
e
, cada equação aplicada em
dá
e o mesmo vale para as outras duas equações. Isso mostra que
Passo 5
Como F contém o zero, é fechado sob soma e multiplicação por escalar, F é subespaço vetorial de
.
Resposta
Sim, F é um subespaço vetorial de
.