Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
e
é o conjunto formado pelas matrizes
tais que
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto F de matrizes 2×2 em E= M(2×2,ℝ) definidas pela condição 11 a₁₁ = 2 a₁₂ − 3 a₂₂ é subespaço vetorial. Para isso vamos usar os critérios: zero em F, fechado sob soma e fechado sob escalar.
Passo 2
Verificar que a matriz zero pertence a F: a₁₁=a₁₂=a₂₁=a₂₂=0. Substituindo na condição:
temos 0=0, logo 0∈F.
Passo 3
Verificar fechamento sob soma: sejam A e B em F com entradas aᵢⱼ e bᵢⱼ. Então
mostrando que A+B satisfaz a mesma condição e, portanto, A+B∈F.
Passo 4
Verificar fechamento sob escalar: para c∈ℝ e A∈F,
logo cA satisfaz a condição e cA∈F.
Resposta
F é subespaço vetorial de E.