Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=M(m times n, R) :
m=n=2 e F é o conjunto formado pelas matrizes 11 a11=2 a12-3 a22 tais que ;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto F de matrizes 2×2 em E= M(2×2,ℝ) definidas pela condição 11 a₁₁ = 2 a₁₂ − 3 a₂₂ é subespaço vetorial. Para isso vamos usar os critérios: zero em F, fechado sob soma e fechado sob escalar.

Passo 2

Verificar que a matriz zero pertence a F: a₁₁=a₁₂=a₂₁=a₂₂=0. Substituindo na condição:
11cdot0 = 2cdot0 - 3cdot0,
temos 0=0, logo 0∈F.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma: sejam A e B em F com entradas aᵢⱼ e bᵢⱼ. Então
11(a11+b11) = 11a11+11b11 = (2a12-3a22) + (2b12-3b22) = 2(a12+b12) - 3(a22+b22),
mostrando que A+B satisfaz a mesma condição e, portanto, A+B∈F.

Passo 4

Verificar fechamento sob escalar: para c∈ℝ e A∈F,
11(ca11) = c,(11a11) = c(2a12-3a22) = 2(ca12) - 3(ca22),
logo cA satisfaz a condição e cA∈F.

Resposta

F é subespaço vetorial de E.

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