Verifique se os subconjuntos W são subespaços vetoriais dos respectivos espaços vetoriais V. Justifique.
(b) V=\mathbb{R}^{3}, \quad W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x \geq 0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3} e o subconjunto
\,W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x\ge0\}.
Para que W seja subespaço de V, precisamos verificar três propriedades:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em W. Como a componente x=0 satisfaz x\ge0, segue que
(0,0,0)\in W.
Logo, W não é vazio.

Passo 3

Testamos o fechamento por soma. Tomemos
\,(x_{1},y_{1},z_{1})\in W e (x_{2},y_{2},z_{2})\in W,
ou seja, x_{1}\ge0 e x_{2}\ge0. Então
(x_{1},y_{1},z_{1}) + (x_{2},y_{2},z_{2}) = (\,x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}\,),
e como x_{1}+x_{2}\ge0, o vetor soma também pertence a W. Assim, W é fechado na soma.

Passo 4

Testamos o fechamento por escalar. Se W fosse subespaço, para todo escalar \lambda\in\mathbb{R} e todo (x,y,z)\in W deveríamos ter
\lambda\,(x,y,z)\in W. Bastar achar um contraexemplo.
Escolhamos \,(x,y,z)=(1,0,0)\in W (pois 1\ge0) e \lambda=-1. Então
\lambda\,(1,0,0)=(-1,0,0)
tem componente x=-1<0, logo (-1,0,0)\notin W.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}, pois falha o fechamento sob multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados