Verifique se os subconjuntos
são subespaços vetoriais dos respectivos espaços vetoriais
. Justifique.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o subconjunto
Para que seja subespaço de
, precisamos verificar três propriedades:
Para que
-
não é vazio (contém o vetor zero). -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
está em
. Como a componente
satisfaz
, segue que
Logo,
não é vazio.
Passo 3
Testamos o fechamento por soma. Tomemos
e
,
ou seja, e
. Então
ou seja,
e como
, o vetor soma também pertence a
. Assim,
é fechado na soma.
Passo 4
Testamos o fechamento por escalar. Se
fosse subespaço, para todo escalar
e todo
deveríamos ter
. Bastar achar um contraexemplo.
Escolhamos (pois
) e
. Então
Escolhamos
tem componente
, logo