Verifique se os subconjuntos W são subespaços vetoriais dos respectivos espaços vetoriais V. Justifique.
(c) V=\mathbb{R}^{3}, \quad W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=y\right. e \left.z=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = \mathbb{R}^3
e
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x = y \text{ e } z = 0\}
fazem de W um subespaço vetorial de V. O conteúdo aqui é o teste de subespaço: precisamos checar se W contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de \mathbb{R}^3 está em W. O vetor zero é
(0,0,0).
Ele satisfaz x=y (pois 0=0) e z=0. Logo
(0,0,0)\in W.

Passo 3

Testamos a fechadura por adição. Tomemos
u = (x_1,y_1,z_1)\in W \quad\text{e}\quad v = (x_2,y_2,z_2)\in W.
Pelas condições de W temos y_1=x_1, z_1=0, y_2=x_2, z_2=0. Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2) = (x_1+x_2,\;x_1+x_2,\;0+0).
Como (x_1+x_2) = (x_1+x_2) e o terceiro componente é zero, segue que u+v\in W.

Passo 4

Testamos a fechadura por multiplicação escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e
u = (x_1,y_1,z_1)\in W,
com y_1=x_1 e z_1=0. Então
\alpha u = (\alpha x_1,\;\alpha y_1,\;\alpha z_1) = (\alpha x_1,\;\alpha x_1,\;0).
Como \alpha x_1 = \alpha x_1 e o terceiro componente é zero, segue que \alpha u\in W.

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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