Verifique se os subconjuntos W são subespaços vetoriais dos respectivos espaços vetoriais V. Justifique.
(d) V=\mathcal{C}(\mathbb{R}) (espaço das funções contínuas de \mathbb{R} em \mathbb{R} ), W=\{f \in \mathcal{C}(\mathbb{R}) \mid f(0)=1\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = \mathcal{C}(\mathbb{R}) (o espaço de todas as funções contínuas \mathbb{R}\to\mathbb{R})
e
W = \{\,f\in \mathcal{C}(\mathbb{R}) \mid f(0)=1\}
fazem de W um subespaço vetorial de V. Vamos usar a definição de subespaço: para isso, W deve ser não vazio, conter o vetor zero e ser fechado para soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de V (isto é, a função z dada por z(x)=0 para todo x) pertence a W. Note que
z(0)=0\neq 1,
logo z\notin W.

Passo 3

Como um subespaço vetorial sempre deve conter o vetor zero, a falha em incluir z já é suficiente para concluir que W não é subespaço de V.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V pois não contém o vetor zero.

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