Verifique quais dos subconjuntos W são subespaços vetoriais de \boldsymbol{V} nos casos:
W=\left\{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) \in \boldsymbol{R}^{3} / \mathbf{z}=\mathbf{0}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=0\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas:
  • O espaço ambiente é \mathbb{R}^{3}.
  • O conjunto W é formado por todos os vetores de \mathbb{R}^{3} cuja terceira coordenada é zero.
  • A pergunta é: W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}? (Sim / Não e justificar.)

Passo 2

Definição e critério prático que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se, e somente se:
    1. W não é vazio (equivalentemente: o vetor zero de V pertence a W);
    2. W é fechado sob adição: para quaisquer u,v\in W tem-se u+v\in W;
    3. W é fechado sob multiplicação por escalares: para todo escalar c\in\mathbb{R} e todo u\in W tem-se c\,u\in W.
Explicando essas condições com calma:
  • Não vazio / contém o zero: o vetor zero é (0,0,0). Se ele tem a propriedade que define W (aqui terceira coordenada igual a zero), então W passa na primeira checagem.
  • Fechamento sob adição: pegue dois vetores quaisquer de W e some coordenada a coordenada; verifique se a terceira coordenada do resultado continua sendo zero.
  • Fechamento sob escalares: multiplique um vetor genérico de W por um escalar e verifique a terceira coordenada resultante.
Esses testes são suficientes — não é necessário testar outras propriedades (como comutatividade, associatividade, etc.) porque essas já valem em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Verificar se o vetor zero pertence a W.
O vetor zero em \mathbb{R}^{3} é (0,0,0). A terceira coordenada é 0, então (0,0,0)\in W. Portanto W não é vazio e passa na primeira condição.

Passo 4

Verificar fechamento sob adição.
Sejam
u=(x_1,y_1,z_1)\in W,\qquad v=(x_2,y_2,z_2)\in W.
Pela definição de W temos z_1=0 e z_2=0. A soma é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Como z_1+z_2=0+0=0, a terceira coordenada de u+v é zero, logo u+v\in W. Assim W é fechado sob adição.

Passo 5

Verificar fechamento sob multiplicação por escalares.
Seja u=(x,y,z)\in W (logo z=0) e seja c\in\mathbb{R}. O produto escalar é
c\,u=(c x,\;c y,\;c z).
Como z=0, tem-se c z = c\cdot 0 = 0. Portanto a terceira coordenada de c\,u é zero, isto é c\,u\in W. Assim W é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 6

Conclusão com interpretação e observação adicional (útil para a prova).
Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalares, concluímos que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.
Observação prática (para usar na prova): W é exatamente o plano xy-plano em \mathbb{R}^{3}. Pode-se escrever
W=\operatorname{span}\{(1,0,0),\,(0,1,0)\},
logo uma base é \{(1,0,0),(0,1,0)\} e
\dim W = 2.
Essa forma “span” é muitas vezes a maneira mais rápida de reconhecer subespaços: se conseguir representar W como um conjunto de combinações lineares de alguns vetores, então já tem subespaço.

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.
Uma base é \{(1,0,0),(0,1,0)\} e \dim W=2.

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