Verifique quais dos subconjuntos W são subespaços vetoriais de
nos casos:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto
é um subespaço vetorial de
.
Informações dadas:
- O espaço ambiente é
. - O conjunto
é formado por todos os vetores de cuja terceira coordenada é zero. - A pergunta é:
é subespaço vetorial de ? (Sim / Não e justificar.)
Passo 2
Definição e critério prático que vamos usar (explicado passo a passo):
- Um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço vetorial se, e somente se: -
não é vazio (equivalentemente: o vetor zero de pertence a ); -
é fechado sob adição: para quaisquer tem-se ; -
é fechado sob multiplicação por escalares: para todo escalar e todo tem-se .
-
Explicando essas condições com calma:
- Não vazio / contém o zero: o vetor zero é
. Se ele tem a propriedade que define (aqui terceira coordenada igual a zero), então passa na primeira checagem. - Fechamento sob adição: pegue dois vetores quaisquer de
e some coordenada a coordenada; verifique se a terceira coordenada do resultado continua sendo zero. - Fechamento sob escalares: multiplique um vetor genérico de
por um escalar e verifique a terceira coordenada resultante.
Esses testes são suficientes — não é necessário testar outras propriedades (como comutatividade, associatividade, etc.) porque essas já valem em
.
Passo 3
Verificar se o vetor zero pertence a
.
O vetor zero em
é
. A terceira coordenada é
, então
. Portanto
não é vazio e passa na primeira condição.
Passo 4
Verificar fechamento sob adição.
Sejam
Pela definição de
temos
e
. A soma é
Como
, a terceira coordenada de
é zero, logo
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificar fechamento sob multiplicação por escalares.
Seja
(logo
) e seja
. O produto escalar é
Como
, tem-se
. Portanto a terceira coordenada de
é zero, isto é
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Conclusão com interpretação e observação adicional (útil para a prova).
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalares, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Observação prática (para usar na prova):
é exatamente o plano
-plano em
. Pode-se escrever
logo uma base é
e
Essa forma “span” é muitas vezes a maneira mais rápida de reconhecer subespaços: se conseguir representar
como um conjunto de combinações lineares de alguns vetores, então já tem subespaço.
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
.
Uma base é e
.
Uma base é