Seja
o conjunto de todos os números reais positivos. Defina a multiplicação por escalar por
e para todo
e todo
real. A adição por
xy para todo
é um espaço vetorial com estas operações?
4. Seja
com as operações:
I)
;
II)
. V é um espaço vetorial?
4. Seja
I)
II)
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá em cada parte e o que é pedido.
Problema A (primeira parte):
- O conjunto é
(todos os reais positivos). - A “adição” entre vetores é definida por
(Ou seja, a operação de adição é a multiplicação usual de números positivos.) - A multiplicação por escalar é definida por
O que se pergunta:
com essas operações é um espaço vetorial sobre o corpo
?
Problema B (segunda parte):
- O conjunto é
. - A “adição” é
- A multiplicação por escalar é
O que se pergunta:
com essas operações é um espaço vetorial sobre
?
Para cada caso eu vou verificar, passo a passo, os axiomas essenciais de espaço vetorial (grupo abeliano para a adição, existência de elemento neutro e inversos, e as propriedades da multiplicação por escalar: identidade
, associatividade dos escalares, e as duas distributividades). Não vou pular etapas.
Passo 2
Lembrete rápido (fórmulas e ideias que vou usar). Um conjunto
com uma operação de adição e uma multiplicação por escalar sobre
é espaço vetorial se, entre outras, as seguintes propriedades valerem:
- (A1) A adição é fechada, associativa e comutativa.
- (A2) Existe elemento neutro
tal que para todo . - (A3) Para todo
existe tal que . - (M1)
para todo . - (M2)
para todo . - (M3)
para todo . - (M4)
para todo e .
Se todas essas (e a existência do fechamento das operações) forem verificadas, temos espaço vetorial. Vou checar explicitamente cada uma quando necessário.
Agora começo a verificar para o Problema A.
Passo 3
Verificando estrutura de grupo abeliano (adição
) em
.
-
Fechamento: se
então e , logo . Fechado. -
Associatividade: para
, Portanto associativa (porque a multiplicação usual é associativa). -
Comutatividade:então é comutativa.
-
Elemento neutro: queremos
tal que para todo . Isso dá , então . Como , o neutro existe e é . -
Inverso aditivo: para cada
procurar tal que . Isto é , logo . Como , o inverso existe.
Conclusão deste passo:
é um grupo abeliano com neutro
e inverso
.
Passo 4
Agora verifico as propriedades relativas à multiplicação por escalar
.
Primeira propriedade (M1):
?
- Cálculo:
. OK.
Segunda propriedade (M2):
?
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Os dois lados coincidem (propriedade das potências). OK.
Passo 5
Verifico agora a distributividade de escalares sobre adição de escalares (M3):
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Coincidem. OK.
Passo 6
Verifico a distributividade de escalar sobre soma de vetores (M4):
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Coincidem. OK.
Passo 7
Verifico outras propriedades usuais que convencem que tudo está consistente (propriedade do escalar zero, por exemplo):
, que é exatamente o neutro aditivo encontrado em
. E
, que é exatamente o inverso aditivo. Isso dá uma checagem extra de coerência com a estrutura de grupo aditivo.
Conclusão para o Problema A: todas as propriedades exigidas para o espaço vetorial sobre
estão satisfeitas. Um comentário conceitual útil (para ajudar a memorizar): mapa
transforma
em soma usual e
em multiplicação por escalar usual, pois
e
. Assim a estrutura é isomorfa a
como espaço vetorial de dimensão
.
Agora sigo para o Problema B.
Passo 8
Verificando a parte aditiva em
com
-
Fechamento: soma de dois pares dá outro par em
. Fechado. -
Associatividade: tome
, , .
São iguais, logo associativa.
-
Comutatividade:Comutativa.
-
Elemento neutro: buscar
tal que para todo . Isso dá Igualando componentes:; . Portanto o neutro é , que pertence a . -
Inverso aditivo: para
procurar tal que . Isso leva a e . Assim o inverso existe para todo vetor.
Conclui-se que
é um grupo abeliano com neutro
.
Passo 9
Verificando propriedades da multiplicação por escalar dada por
Primeiro, fechamento: para
e
resulta um par em
, logo fechado.
Verifico agora as propriedades essenciais.
(M1) Identidade do escalar:
portanto
. OK.
(M2) Associatividade dos escalares: verificar
.
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
então Desenvolvendo o segundo componente: Assim os dois lados coincidem. OK.
Passo 10
Verifico a distributividade sobre soma de escalares (M3):
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Somando (lembrar que soma de vetores adiciona +1 no segundo componente): Simplificando o segundo componente: Assim o resultado é que coincide com o lado esquerdo. Portanto (M3) vale.
Passo 11
Verifico a distributividade do escalar sobre soma de vetores (M4):
- Primeiro compute
. - Aplicando
: Calculando o segundo componente: - Agora o lado direito:
Somando:
Os lados coincidem. Logo (M4) vale.
Passo 12
Verifico propriedade extra de coerência:
.
-
, e recordando que o neutro aditivo é , essa igualdade mostra , consistente.
Passo 13
Resumo e interpretação para o Problema B. Todas as propriedades necessárias foram verificadas explicitamente:
-
é grupo abeliano (com neutro e inversos dados por ). - As leis de multiplicação por escalar satisfazem
, , as duas distributividades e .
Portantocom as operações dadas é um espaço vetorial sobre .
Um comentário conceitual útil (ajuda a entender por que isso funciona): a transformação afim
transporta as operações dadas para as operações usuais em
. De fato, para
e
,
e
usando as operações usuais. Assim
é um isomorfismo afim linear que mostra imediatamente que a estrutura é a de um espaço vetorial (equivalente a
com operações usuais). Isso dá intuição e uma forma alternativa de ver a verificação completa.
Resposta
Sim,
com
e
é um espaço vetorial sobre
.
Sim,
com
e
é um espaço vetorial sobre
.