Seja \mathbf{R}^{+}o conjunto de todos os números reais positivos. Defina a multiplicação por escalar por \alpha \mathbf{o} \mathbf{x}=\mathbf{x}^{\alpha} e para todo \mathbf{x} \in \mathbf{R}^{+}e todo \alpha real. A adição por \mathbf{x} \oplus \mathbf{y}= xy para todo \mathbf{x} \boldsymbol{e} \boldsymbol{y} \in \mathbf{R}^{+} \boldsymbol{.} \mathbf{V}=\mathbf{R}^{+}é um espaço vetorial com estas operações?
4. Seja \mathbf{V}=\left\{[x, y] \in \boldsymbol{R}^{2} / x, y \in \boldsymbol{R}\right\} com as operações:
I) \quad[x, y]+\left[x_{1}, y_{1}\right]=\left[x+x_{1}, y+y_{1}+1\right];
II) \quad a \cdot[x, y]=[a x, a y+a-1]. V é um espaço vetorial?

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá em cada parte e o que é pedido.
Problema A (primeira parte):
  • O conjunto é \mathbb{R}^{+} (todos os reais positivos).
  • A “adição” entre vetores é definida por x \oplus y = xy,\qquad \text{para todo } x,y\in\mathbb{R}^{+}.(Ou seja, a operação de adição é a multiplicação usual de números positivos.)
  • A multiplicação por escalar é definida por \alpha \odot x = x^{\alpha},\qquad \text{para todo } x\in\mathbb{R}^{+},\\ \alpha\in\mathbb{R}.
O que se pergunta: V=\mathbb{R}^+ com essas operações é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}?
Problema B (segunda parte):
  • O conjunto é V=\{[x,y]\in\mathbb{R}^2\}.
  • A “adição” é [x,y]+[x_1,y_1]=[x+x_1,\;y+y_1+1].
  • A multiplicação por escalar é a\cdot[x,y]=[a x,\; a y + a - 1],\qquad a\in\mathbb{R}.
O que se pergunta: V com essas operações é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}?
Para cada caso eu vou verificar, passo a passo, os axiomas essenciais de espaço vetorial (grupo abeliano para a adição, existência de elemento neutro e inversos, e as propriedades da multiplicação por escalar: identidade 1\cdot v=v, associatividade dos escalares, e as duas distributividades). Não vou pular etapas.

Passo 2

Lembrete rápido (fórmulas e ideias que vou usar). Um conjunto V com uma operação de adição e uma multiplicação por escalar sobre \mathbb{R} é espaço vetorial se, entre outras, as seguintes propriedades valerem:
  • (A1) A adição é fechada, associativa e comutativa.
  • (A2) Existe elemento neutro 0_V tal que v+0_V=v para todo v.
  • (A3) Para todo v existe -v tal que v+(-v)=0_V.
  • (M1) 1\cdot v = v para todo v.
  • (M2) (\alpha\beta)\cdot v = \alpha\cdot(\beta\cdot v) para todo \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
  • (M3) (\alpha+\beta)\cdot v = \alpha\cdot v + \beta\cdot v para todo \alpha,\beta.
  • (M4) \alpha\cdot (u+v)=\alpha\cdot u + \alpha\cdot v para todo \alpha e u,v.
    Se todas essas (e a existência do fechamento das operações) forem verificadas, temos espaço vetorial. Vou checar explicitamente cada uma quando necessário.
Agora começo a verificar para o Problema A.

Passo 3

Verificando estrutura de grupo abeliano (adição \oplus) em \mathbb{R}^{+}.
  • Fechamento: se x,y\in\mathbb{R}^{+} então x\oplus y = xy e xy>0, logo xy\in\mathbb{R}^{+}. Fechado.
  • Associatividade: para x,y,z\in\mathbb{R}^{+},
    (x\oplus y)\oplus z = (xy)\oplus z = (xy)z = x(yz) = x\oplus (y\oplus z).
    Portanto associativa (porque a multiplicação usual é associativa).
  • Comutatividade:
    x\oplus y = xy = yx = y\oplus x,
    então é comutativa.
  • Elemento neutro: queremos e\in\mathbb{R}^{+} tal que x\oplus e = x para todo x. Isso dá x e = x, então e=1. Como 1\in\mathbb{R}^+, o neutro existe e é 1.
  • Inverso aditivo: para cada x\in\mathbb{R}^{+} procurar y tal que x\oplus y = 1. Isto é x y = 1, logo y = x^{-1}. Como x^{-1}\in\mathbb{R}^+, o inverso existe.
Conclusão deste passo: (\mathbb{R}^{+},\oplus) é um grupo abeliano com neutro 1 e inverso x^{-1}.

Passo 4

Agora verifico as propriedades relativas à multiplicação por escalar \alpha\odot x = x^{\alpha}.
Primeira propriedade (M1): 1\odot x = x?
  • Cálculo: 1\odot x = x^{1} = x. OK.
Segunda propriedade (M2): (\alpha\beta)\odot x = \alpha\odot(\beta\odot x)?
  • Lado esquerdo: (\alpha\beta)\odot x = x^{\alpha\beta}.
  • Lado direito: \alpha\odot(\beta\odot x) = \alpha\odot(x^{\beta}) = (x^{\beta})^{\alpha} = x^{\beta\alpha} = x^{\alpha\beta}.
Os dois lados coincidem (propriedade das potências). OK.

Passo 5

Verifico agora a distributividade de escalares sobre adição de escalares (M3):
(\alpha+\beta)\odot x \stackrel{?}{=} \alpha\odot x \;\oplus\; \beta\odot x.
  • Lado esquerdo: (\alpha+\beta)\odot x = x^{\alpha+\beta} = x^{\alpha} x^{\beta}.
  • Lado direito: \alpha\odot x \;\oplus\; \beta\odot x = x^{\alpha}\;\oplus\; x^{\beta} = x^{\alpha}\,x^{\beta}.
Coincidem. OK.

Passo 6

Verifico a distributividade de escalar sobre soma de vetores (M4):
\alpha\odot (x\oplus y) \stackrel{?}{=} \alpha\odot x \;\oplus\; \alpha\odot y.
  • Lado esquerdo: \alpha\odot (x\oplus y) = \alpha\odot (xy) = (xy)^{\alpha} = x^{\alpha} y^{\alpha}.
  • Lado direito: \alpha\odot x \;\oplus\; \alpha\odot y = x^{\alpha}\;\oplus\; y^{\alpha} = x^{\alpha} y^{\alpha}.
Coincidem. OK.

Passo 7

Verifico outras propriedades usuais que convencem que tudo está consistente (propriedade do escalar zero, por exemplo): 0\odot x = x^0 = 1, que é exatamente o neutro aditivo encontrado em \oplus. E (-1)\odot x = x^{-1}, que é exatamente o inverso aditivo. Isso dá uma checagem extra de coerência com a estrutura de grupo aditivo.
Conclusão para o Problema A: todas as propriedades exigidas para o espaço vetorial sobre \mathbb{R} estão satisfeitas. Um comentário conceitual útil (para ajudar a memorizar): mapa \log:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R} transforma \oplus em soma usual e \odot em multiplicação por escalar usual, pois \log(x\oplus y)=\log(xy)=\log x+\log y e \log(\alpha\odot x)=\log(x^\alpha)=\alpha\log x. Assim a estrutura é isomorfa a (\mathbb{R},+) como espaço vetorial de dimensão 1.
Agora sigo para o Problema B.

Passo 8

Verificando a parte aditiva em V=\mathbb{R}^2 com
[x,y]+[x_1,y_1]=[x+x_1,\;y+y_1+1].
  • Fechamento: soma de dois pares dá outro par em \mathbb{R}^2. Fechado.
  • Associatividade: tome A=[x,y], B=[x_1,y_1], C=[x_2,y_2].
    (A+B)+C = [x+x_1,y+y_1+1] + [x_2,y_2] = [x+x_1+x_2,\; y+y_1+1 + y_2 + 1]
= [x+x_1+x_2,\; y+y_1+y_2 + 2].
A+(B+C) = [x,y] + [x_1+x_2,\; y_1+y_2+1] = [x+x_1+x_2,\; y + (y_1+y_2+1) + 1]
= [x+x_1+x_2,\; y+y_1+y_2 + 2].
São iguais, logo associativa.
  • Comutatividade:
    [x,y]+[x_1,y_1] = [x+x_1,\; y+y_1+1] = [x_1+x,\; y_1+y+1] = [x_1,y_1]+[x,y].
    Comutativa.
  • Elemento neutro: buscar e=[e_1,e_2] tal que [x,y]+e=[x,y] para todo [x,y]. Isso dá
    [x+e_1,\; y+e_2+1] = [x,y].
    Igualando componentes: x+e_1=x\Rightarrow e_1=0; y+e_2+1=y\Rightarrow e_2=-1. Portanto o neutro é 0_V=[0,-1], que pertence a \mathbb{R}^2.
  • Inverso aditivo: para [x,y] procurar [u,v] tal que [x,y]+[u,v]=[0,-1]. Isso leva a u=-x e v=-2-y. Assim o inverso existe para todo vetor.
Conclui-se que (V,+) é um grupo abeliano com neutro [0,-1].

Passo 9

Verificando propriedades da multiplicação por escalar dada por
a\cdot[x,y]=[a x,\; a y + a - 1].
Primeiro, fechamento: para a\in\mathbb{R} e [x,y]\in\mathbb{R}^2 resulta um par em \mathbb{R}^2, logo fechado.
Verifico agora as propriedades essenciais.
(M1) Identidade do escalar:
1\cdot[x,y] = [1\cdot x,\; 1\cdot y + 1 - 1] = [x,\; y],
portanto 1\cdot v = v. OK.
(M2) Associatividade dos escalares: verificar (ab)\cdot [x,y] = a\cdot(b\cdot [x,y]).
  • Lado esquerdo: (ab)\cdot[x,y] = [abx,\; ab y + ab -1].
  • Lado direito: b\cdot[x,y] = [bx,\; by + b -1],então a\cdot(b\cdot[x,y]) = a\cdot[bx,\; by + b -1] = [a(bx),\; a(by + b -1) + a -1].Desenvolvendo o segundo componente: a(by + b -1) + a -1 = ab y + ab - a + a -1 = ab y + ab -1.Assim os dois lados coincidem. OK.

Passo 10

Verifico a distributividade sobre soma de escalares (M3):
(a+b)\cdot [x,y] \stackrel{?}{=} a\cdot[x,y] + b\cdot[x,y].
  • Lado esquerdo: (a+b)\cdot[x,y] = [(a+b)x,\; (a+b)y + (a+b) -1].
  • Lado direito: a\cdot[x,y] = [ax,\; ay + a -1],\qquad b\cdot[x,y] = [bx,\; by + b -1].Somando (lembrar que soma de vetores adiciona +1 no segundo componente): a\cdot[x,y] + b\cdot[x,y] = [ax+bx,\; (ay + a -1) + (by + b -1) + 1].Simplificando o segundo componente: (ay + a -1) + (by + b -1) + 1 = ay + by + a + b -1.Assim o resultado é [ax+bx,\; ay+by + a + b -1],que coincide com o lado esquerdo. Portanto (M3) vale.

Passo 11

Verifico a distributividade do escalar sobre soma de vetores (M4):
a\cdot([x,y]+[x_1,y_1]) \stackrel{?}{=} a\cdot[x,y] + a\cdot[x_1,y_1].
  • Primeiro compute [x,y]+[x_1,y_1] = [x+x_1,\; y+y_1+1].
  • Aplicando a: a\cdot[x+x_1,\; y+y_1+1] = [a(x+x_1),\; a(y+y_1+1) + a -1].Calculando o segundo componente: a(y+y_1+1) + a -1 = ay + ay_1 + a + a -1 = ay + ay_1 + 2a -1.
  • Agora o lado direito: a\cdot[x,y] = [ax,\; ay + a -1],\quad a\cdot[x_1,y_1] = [ax_1,\; ay_1 + a -1].Somando: [ax+ax_1,\; (ay + a -1) + (ay_1 + a -1) + 1] = [ax+ax_1,\; ay + ay_1 + 2a -1].
Os lados coincidem. Logo (M4) vale.

Passo 12

Verifico propriedade extra de coerência: 0\cdot v = 0_V.
  • 0\cdot[x,y] = [0\cdot x,\; 0\cdot y + 0 -1] = [0,\; -1], e recordando que o neutro aditivo é [0,-1], essa igualdade mostra 0\cdot v = 0_V, consistente.

Passo 13

Resumo e interpretação para o Problema B. Todas as propriedades necessárias foram verificadas explicitamente:
  • (V,+) é grupo abeliano (com neutro [0,-1] e inversos dados por [-x,-2-y]).
  • As leis de multiplicação por escalar satisfazem 1\cdot v = v, (ab)\cdot v = a\cdot(b\cdot v), as duas distributividades e 0\cdot v = 0_V.
    Portanto V com as operações dadas é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Um comentário conceitual útil (ajuda a entender por que isso funciona): a transformação afim
\Phi:\;[x,y]\longmapsto (x,\; y+1)
transporta as operações dadas para as operações usuais em \mathbb{R}^2. De fato, para A=[x,y] e B=[x_1,y_1],
\Phi(A+B) = (x+x_1,\; y+y_1+2) = \Phi(A)+\Phi(B)
e
\Phi(a\cdot [x,y]) = (ax,\; ay+a) = a\cdot \Phi([x,y])
usando as operações usuais. Assim \Phi é um isomorfismo afim linear que mostra imediatamente que a estrutura é a de um espaço vetorial (equivalente a \mathbb{R}^2 com operações usuais). Isso dá intuição e uma forma alternativa de ver a verificação completa.

Resposta

Sim, \mathbb{R}^{+} com x\oplus y=xy e \alpha\odot x=x^{\alpha} é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Sim, V=\{[x,y]\} com [x,y]+[x_1,y_1]=[x+x_1,\;y+y_1+1] e a\cdot[x,y]=[ax,\;ay+a-1] é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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