Seja \mathbf{V}=\left\{[x, y] \in \boldsymbol{R}^{2} / x, y \in \boldsymbol{R}\right\} com as operações:
I) \quad[x, y]+\left[x_{1}, y_{1}\right]=\left[x+x_{1}, y+y_{1}+1\right];
II) \quad a \cdot[x, y]=[a x, a y+a-1]. V é um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \mathbf{V}=\{[x,y]\in\mathbb{R}^2 \mid x,y\in\mathbb{R}\} com as operações definidas por:
[x,y]+\left[x_1,y_1\right]=\left[x+x_1,\;y+y_1+1\right],
a\cdot[x,y]=\left[ax,\;ay+a-1\right],
e pergunta explicitamente: V é um espaço vetorial?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O conjunto é todo \mathbb{R}^2 visto como pares [x,y].
  • A adição entre vetores é a operação não usual \oplus dada acima (há um termo constante +1 na segunda componente).
  • A multiplicação por escalar é a operação não usual dada acima (há um termo constante -1 somado a ay+a na segunda componente).
  • A pergunta exige verificar se todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial sobre \mathbb{R} são satisfeitas.

Passo 2

O que significa ser espaço vetorial (resumão didático): é preciso que \mathbf{V} seja um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}; concretamente isso exige que (\mathbf{V},+) seja um grupo abeliano e que a multiplicação escalar satisfaça um conjunto de axiomas (fechamento, compatibilidade com multiplicação de escalares, distributividades, existência do elemento 1 atuando como identidade, etc.). Vou checar, passo a passo, cada uma dessas propriedades usando as operações dadas. Em cada verificação mostro o cálculo explícito.

Passo 3

Fechamento e propriedades básicas da adição (grupo abeliano).
Fechamento: dados [x,y] e \left[x_1,y_1\right] em \mathbf{V},
[x,y]+\left[x_1,y_1\right]=\left[x+x_1,\;y+y_1+1\right],
que é um par de números reais, logo está em \mathbf{V}. Portanto a adição é fechada.
Comutatividade: trocar os somandos dá
\left[x_1,y_1\right]+[x,y]=\left[x_1+x,\;y_1+y+1\right]=\left[x+x_1,\;y+y_1+1\right],
que é igual à soma original, então a adição é comutativa.
Associatividade: calcular \big([x,y]+[x_1,y_1]\big)+[x_2,y_2] e [x,y]+\big([x_1,y_1]+[x_2,y_2]\big).
Primeiro:
[x,y]+[x_1,y_1]=\left[x+x_1,\;y+y_1+1\right],
então
\big([x,y]+[x_1,y_1]\big)+[x_2,y_2]=\left[x+x_1+x_2,\; (y+y_1+1)+y_2+1\right]=\left[x+x_1+x_2,\;y+y_1+y_2+2\right].
Segundo:
[x_1,y_1]+[x_2,y_2]=\left[x_1+x_2,\;y_1+y_2+1\right],
então
[x,y]+\big([x_1,y_1]+[x_2,y_2]\big)=\left[x+x_1+x_2,\; y+(y_1+y_2+1)+1\right]=\left[x+x_1+x_2,\;y+y_1+y_2+2\right].
São iguais, logo a adição é associativa.
Conclusão parcial: (\mathbf{V},+) é um grupo abeliano (pois fechamento, associatividade, comutatividade e veremos identidade e inversos a seguir).

Passo 4

Existência do elemento neutro (vetor zero em relação a +).
Queremos [x_0,y_0] tal que, para todo [x,y],
[x,y]+[x_0,y_0]=[x,y].
Pela definição da soma isso dá
\left[x+x_0,\;y+y_0+1\right]=[x,y].
Igualando componentes temos as duas equações:
x+x_0 = x \quad\Rightarrow\quad x_0=0,
y+y_0+1 = y \quad\Rightarrow\quad y_0 = -1.
Portanto o candidato é [0,-1]. Verificação direta:
[x,y]+[0,-1]=\left[x+0,\;y-1+1\right]=[x,y].
Também [0,-1]+[x,y]=[x,y] (pela comutatividade). Logo [0,-1] é o elemento neutro aditivo. Observação didática: note que o “zero” aqui não é o par [0,0] usual; é [0,-1] por causa do +1 na definição da soma.

Passo 5

Existência do inverso aditivo.
Para dado [x,y] buscamos [u,v] tal que
[x,y]+[u,v]=[0,-1] ,
pois [0,-1] é o neutro aditivo encontrado. Pela definição:
\left[x+u,\;y+v+1\right]=[0,-1].
Igualando componentes:
x+u=0 \quad\Rightarrow\quad u=-x,
y+v+1=-1 \quad\Rightarrow\quad v=-y-2.
Logo o inverso de [x,y] é [-x,\,-y-2]. Verificação:
[x,y]+[-x,-y-2]=\left[0,\;y+(-y-2)+1\right]=\left[0,\;-1\right],
que é o neutro. Portanto todo vetor tem inverso aditivo.

Passo 6

Fechamento da multiplicação escalar.
Para a\in\mathbb{R} e [x,y]\in\mathbf{V},
a\cdot[x,y]=\left[ax,\;ay+a-1\right],
que é novamente um par de reais; logo a multiplicação escalar é fechada em \mathbf{V}.

Passo 7

Axioma: compatibilidade entre multiplicação escalar e produto de escalares:
(ab)\cdot [x,y] = a\cdot\big(b\cdot[x,y]\big).
Calcule o lado direito passo a passo.
Primeiro calcule b\cdot[x,y]:
b\cdot[x,y]=\left[bx,\;by+b-1\right].
Agora aplique a\cdot a esse vetor:
a\cdot\big(b\cdot[x,y]\big)=a\cdot\left[bx,\;by+b-1\right] = \left[a(bx),\;a(by+b-1)+a-1\right].
Simplificando a segunda componente:
a(by+b-1)+a-1 = ab y + ab - a + a -1 = ab y + ab -1.
Logo
a\cdot\big(b\cdot[x,y]\big)=\left[abx,\;aby+ab-1\right].
Agora o lado esquerdo:
(ab)\cdot[x,y]=\left[(ab)x,\;(ab)y+ab-1\right],
que é o mesmo. Assim a compatibilidade é satisfeita.

Passo 8

Axioma: elemento escalar 1 atua como identidade:
1\cdot[x,y]=[x,y].
Verificação:
1\cdot[x,y]=\left[1\cdot x,\;1\cdot y+1-1\right]=[x,y].
Logo satisfeito.

Passo 9

Axioma: distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
a\cdot\big([x,y]+[x_1,y_1]\big) = a\cdot[x,y] + a\cdot[x_1,y_1].
Calcule primeiro o lado esquerdo. Como já temos
[x,y]+[x_1,y_1]=\left[x+x_1,\;y+y_1+1\right],
então
a\cdot\big([x,y]+[x_1,y_1]\big)=\left[a(x+x_1),\;a(y+y_1+1)+a-1\right].
Simplificando a segunda componente:
a(y+y_1+1)+a-1 = ay + ay_1 + a + a -1 = ay + ay_1 + 2a -1.
Agora o lado direito:
a\cdot[x,y]=\left[ax,\;ay+a-1\right],\qquad a\cdot[x_1,y_1]=\left[ax_1,\;ay_1+a-1\right].
Somando (pela definição de soma):
a\cdot[x,y] + a\cdot[x_1,y_1] = \left[ax+ax_1,\; (ay+a-1)+(ay_1+a-1)+1\right].
Calcule a segunda componente:
(ay+a-1)+(ay_1+a-1)+1 = ay + ay_1 + a + a -1 -1 +1 = ay + ay_1 + 2a -1.
As duas parcelas são iguais componente a componente, logo a distributividade escalar sobre soma de vetores vale.

Passo 10

Axioma: distributividade da soma de escalares sobre um vetor:
(a+b)\cdot[x,y] = a\cdot[x,y] + b\cdot[x,y].
Calcule o lado esquerdo:
(a+b)\cdot[x,y]=\left[(a+b)x,\;(a+b)y + (a+b) -1\right] = \left[ax+bx,\;ay+by+a+b-1\right].
Calcule o lado direito:
a\cdot[x,y] + b\cdot[x,y] = \left[ax,\;ay+a-1\right] + \left[bx,\;by+b-1\right] = \left[ax+bx,\; (ay+a-1)+(by+b-1)+1\right].
A segunda componente simplifica:
(ay+a-1)+(by+b-1)+1 = ay+by+a+b-1.
Ambos os lados coincidem, então a propriedade é satisfeita.

Passo 11

Propriedade adicional (consequência útil): 0 vezes qualquer vetor dá o vetor nulo aditivo [0,-1].
Calcule:
0\cdot[x,y]=\left[0\cdot x,\;0\cdot y + 0 -1\right]=[0,-1],
que coincide com o elemento neutro aditivo encontrado em

Passo 12

Resumo e conclusão final didática: verificamos as propriedades que definem um espaço vetorial sobre \mathbb{R}:
  • (\mathbf{V},+) é um grupo abeliano: fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro [0,-1] e inversos [-x,-y-2] existem.
  • A multiplicação escalar é fechada e satisfaz os axiomas: compatibilidade (ab)\cdot v = a\cdot(b\cdot v), existência de 1 agindo como identidade, e as duas distributividades são válidas.
  • Checagens adicionais como 0\cdot v=[0,-1] foram confirmadas.
Portanto todas as propriedades exigidas para que \mathbf{V} seja um espaço vetorial sobre \mathbb{R} estão satisfeitas.

Resposta

Sim. \mathbf{V} é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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