Seja
com as operações:
I)
;
II)
. V é um espaço vetorial?
I)
II)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com as operações definidas por:
e pergunta explicitamente:
V é um espaço vetorial?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O conjunto é todo
visto como pares . - A adição entre vetores é a operação não usual
dada acima (há um termo constante na segunda componente). - A multiplicação por escalar é a operação não usual dada acima (há um termo constante
somado a na segunda componente). - A pergunta exige verificar se todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial sobre
são satisfeitas.
Passo 2
O que significa ser espaço vetorial (resumão didático): é preciso que
seja um espaço vetorial sobre o corpo
; concretamente isso exige que
seja um grupo abeliano e que a multiplicação escalar satisfaça um conjunto de axiomas (fechamento, compatibilidade com multiplicação de escalares, distributividades, existência do elemento
atuando como identidade, etc.). Vou checar, passo a passo, cada uma dessas propriedades usando as operações dadas. Em cada verificação mostro o cálculo explícito.
Passo 3
Fechamento e propriedades básicas da adição (grupo abeliano).
Fechamento: dados
e
em
,
que é um par de números reais, logo está em
. Portanto a adição é fechada.
Comutatividade: trocar os somandos dá
que é igual à soma original, então a adição é comutativa.
Associatividade: calcular
e
.
Primeiro:
então
Segundo:
então
São iguais, logo a adição é associativa.
Conclusão parcial:
é um grupo abeliano (pois fechamento, associatividade, comutatividade e veremos identidade e inversos a seguir).
Passo 4
Existência do elemento neutro (vetor zero em relação a
).
Queremos
tal que, para todo
,
Pela definição da soma isso dá
Igualando componentes temos as duas equações:
Portanto o candidato é
. Verificação direta:
Também
(pela comutatividade). Logo
é o elemento neutro aditivo. Observação didática: note que o “zero” aqui não é o par
usual; é
por causa do
na definição da soma.
Passo 5
Existência do inverso aditivo.
Para dado
buscamos
tal que
pois
é o neutro aditivo encontrado. Pela definição:
Igualando componentes:
Logo o inverso de
é
. Verificação:
que é o neutro. Portanto todo vetor tem inverso aditivo.
Passo 6
Fechamento da multiplicação escalar.
Para
e
,
que é novamente um par de reais; logo a multiplicação escalar é fechada em
.
Passo 7
Axioma: compatibilidade entre multiplicação escalar e produto de escalares:
Calcule o lado direito passo a passo.
Primeiro calcule
:
Agora aplique
a esse vetor:
Simplificando a segunda componente:
Logo
Agora o lado esquerdo:
que é o mesmo. Assim a compatibilidade é satisfeita.
Passo 8
Axioma: elemento escalar
atua como identidade:
Verificação:
Logo satisfeito.
Passo 9
Axioma: distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
Calcule primeiro o lado esquerdo. Como já temos
então
Simplificando a segunda componente:
Agora o lado direito:
Somando (pela definição de soma):
Calcule a segunda componente:
As duas parcelas são iguais componente a componente, logo a distributividade escalar sobre soma de vetores vale.
Passo 10
Axioma: distributividade da soma de escalares sobre um vetor:
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado direito:
A segunda componente simplifica:
Ambos os lados coincidem, então a propriedade é satisfeita.
Passo 11
Propriedade adicional (consequência útil):
vezes qualquer vetor dá o vetor nulo aditivo
.
Calcule:
que coincide com o elemento neutro aditivo encontrado em
Passo 12
Resumo e conclusão final didática: verificamos as propriedades que definem um espaço vetorial sobre
:
-
é um grupo abeliano: fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro e inversos existem. - A multiplicação escalar é fechada e satisfaz os axiomas: compatibilidade
, existência de agindo como identidade, e as duas distributividades são válidas. - Checagens adicionais como
foram confirmadas.
Portanto todas as propriedades exigidas para que
seja um espaço vetorial sobre
estão satisfeitas.
Resposta
Sim.
é um espaço vetorial sobre
.