Verifique que Im(f) subset Dom(g) e determine g circ f se:
a) f(x)=x+2, g(x)=3 x+1
b) f(x)=x^2+2, g(x)=raizx
c) f(x)=x^2+3, g(x)=x+1x-2

Passo 1

A questão trata de composição de funções. Precisamos verificar em cada item se o conjunto imagem de f está contido no domínio de g, e então calcular gcirc f. Vamos usar a definição de domínio, imagem e a regra de composição (gcirc f)(x)=gl(f(x)r).

Passo 2

Para o item a):
f(x)=x+2 tem domínio R e imagem R.
g(x)=3x+1 tem domínio R.
Como Im(f)=Rsubset R=Dom(g), vale a composição.
• Calculando (gcirc f)(x)=g(f(x))=3(x+2)+1=3x+6+1=3x+7.

Passo 3

Para o item b):
f(x)=x^2+2 tem domínio R e imagem [2,infty).
g(x)=raizx tem domínio [0,infty).
Como Im(f)=[2,infty)subset[0,infty)=Dom(g), vale a composição.
• Calculando (gcirc f)(x)=raizx^2+2.

Passo 4

Para o item c):
f(x)=x^2+3 tem domínio R e imagem [3,infty).
g(x)=x+1x-2 tem domínio Rsetminus2.
Como Im(f)=[3,infty) não inclui 2, temos [3,infty)subsetRsetminus2=Dom(g), logo a composição existe.
• Calculando (gcirc f)(x)=(x^2+3)+1(x^2+3)-2=x^2+4x^2+1.

Resposta

a) gcirc f(x)=3x+7
b) gcirc f(x)=raizx^2+2
c) gcirc f(x)=x^2+4x^2+1

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