Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI:
ld yd x=y^4-x^4 y(0)=7

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o PVI y'=y^4 - x^4, y(0)=7, tem solução única ou não, usando o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf. Vamos precisar checar se a função f(x,y)=y^4 - x^4 é contínua e Lipschitz em y numa vizinhança de (0,7).

Passo 2

A função f(x,y)=y^4 - x^4 é um polinômio em x e y, portanto contínua em todo R^2. Assim, ela satisfaz a condição de continuidade exigida pelo teorema.

Passo 3

Para verificar a condição de Lipschitz em y, calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y(x,y)=4y^3
Como 4y^3 é contínuo em y próximo a y=7, existe um retângulo |x|<= a, |y-7|<= b onde partial f/partial y é limitada, garantindo Lipschitz em y.

Passo 4

Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, como f é contínua em (0,7) e Lipschitz em y nessa vizinhança, existe uma única solução local do PVI. Essa solução pode ser estendida até que y ou x atinja fronteiras de continuidade, mas como f não tem singularidades, a solução é única também globalmente.

Resposta

O PVI satisfaz as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade, logo há uma única solução passando por (0,7).

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