Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o PVI
,
, tem solução única ou não, usando o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf. Vamos precisar checar se a função
é contínua e Lipschitz em
numa vizinhança de
.
Passo 2
A função
é um polinômio em
e
, portanto contínua em todo
. Assim, ela satisfaz a condição de continuidade exigida pelo teorema.
Passo 3
Para verificar a condição de Lipschitz em
, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Como
é contínuo em
próximo a
, existe um retângulo
onde
é limitada, garantindo Lipschitz em
.
Passo 4
Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, como
é contínua em
e Lipschitz em
nessa vizinhança, existe uma única solução local do PVI. Essa solução pode ser estendida até que
ou
atinja fronteiras de continuidade, mas como
não tem singularidades, a solução é única também globalmente.
Resposta
O PVI satisfaz as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade, logo há uma única solução passando por
.