Determine f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y) nos casos abaixo:
f(x, y)=\int_{x}^{y} e^{\cos (t)} d t.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=\int_{x}^{y}e^{\cos t}\,dt
e pede as derivadas parciais \displaystyle f_{x} e \displaystyle f_{y}.
O conteúdo usado será o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra de diferenciação de integrais com limites dependentes da variável.

Passo 2

Para calcular \displaystyle f_{x}(x,y), tratamos y como constante e aplicamos a regra de Leibniz para derivar em função do limite inferior:
\frac{\partial}{\partial x}\int_{x}^{y}e^{\cos t}\,dt =-\,e^{\cos x}.
Logo,
f_{x}(x,y)=-e^{\cos x}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle f_{y}(x,y), tratamos x como constante e derivamos em função do limite superior:
\frac{\partial}{\partial y}\int_{x}^{y}e^{\cos t}\,dt =e^{\cos y}.
Portanto,
f_{y}(x,y)=e^{\cos y}.

Resposta

f_{x}(x,y)=-e^{\cos x},\qquad f_{y}(x,y)=e^{\cos y}.

Exercícios relacionados