Verifique o Teorema da Divergência nos dois seguintes casos:
a esfera
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e a superfície
que é a esfera
Pediram para verificar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) — isto é, mostrar que o fluxo de
através de
(orientada para fora) é igual à integral tripla do divergente de
sobre a região sólida
delimitada por
(a bola de raio
). Em outras palavras, precisamos verificar que
Informações relevantes dadas:
- A superfície
é a esfera de raio centrada na origem. - A região
é a bola sólida . - A orientação é a normal para fora da esfera (padrão).
Passo 2
Definição e cálculo do divergente (a parte teórica necessária).
- O divergente de um campo vetorial
é a função
- Aqui
, logo cada componente é , , . - Calcular cada derivada parcial:
- Portanto o divergente é constante:
Passo 3
Calcular a integral tripla do divergente sobre
.
- Como
em todo , a integral tripla é simplesmente o volume de :
- O volume de uma bola de raio
é . Aqui , então
- Conclusão parcial:
Passo 4
Preparar o cálculo do fluxo pela superfície
(metodo direto).
- Para verificar o Teorema da Divergência precisamos também calcular diretamente o fluxo
onde
é o versor normal exterior à esfera.
- Num ponto
da esfera de raio a normal radial (para fora) unitária é
- Então o produto escalar é
Passo 5
Converter para coordenadas esféricas e escrever a integral de superfície.
- Usar coordenadas esféricas com raio fixo
:
com
e
.
- Elemento de área da esfera de raio
é
- Substituindo
em termos de :
- Assim
- O fluxo é então
Passo 6
Simplificar o integrando e separar integrais.
- Multiplicando por
obtemos
- Logo o fluxo é
- Observação útil: o primeiro integrando contém
. A integral de em de a é zero, então o primeiro termo anula-se. Assim resta apenas o segundo termo:
Passo 7
Calcular a integral em
:
.
- Usar a identidade
. - Então
Passo 8
Calcular a integral em
:
.
- Usar
e a substituição , então . - Quando
temos ; quando temos . - Assim
- Com a substituição:
- Portanto
Passo 9
Finalizar a integral de superfície e comparar com a integral de volume.
- Usando os resultados:
- Lembrando do Passo 3, a integral tripla do divergente foi
. - Conclusão: as duas integrais coincidem, logo o Teorema da Divergência está verificado para este campo e esta esfera.
Resposta
Fluxo pela superfície
:
Integral do divergente sobre :
Integral do divergente sobre