Verifique o Teorema da Divergência nos dois seguintes casos:
\vec{F}=z \vec{i}+y \vec{j}+x \vec{k}, \sigma a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \vec{F}=z\vec{i}+y\vec{j}+x\vec{k} e a superfície \sigma que é a esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.
Pediram para verificar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) — isto é, mostrar que o fluxo de \vec{F} através de \sigma (orientada para fora) é igual à integral tripla do divergente de \vec{F} sobre a região sólida V delimitada por \sigma (a bola de raio 4). Em outras palavras, precisamos verificar que
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV.
Informações relevantes dadas:
  • A superfície \sigma é a esfera de raio 4 centrada na origem.
  • A região V é a bola sólida \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 16\}.
  • A orientação é a normal para fora da esfera (padrão).

Passo 2

Definição e cálculo do divergente (a parte teórica necessária).
  • O divergente de um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é a função
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
  • Aqui \vec{F}=(z,y,x), logo cada componente é F_x=z, F_y=y, F_z=x.
  • Calcular cada derivada parcial:
\frac{\partial F_x}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial F_y}{\partial y}=\frac{\partial y}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial F_z}{\partial z}=\frac{\partial x}{\partial z}=0.
  • Portanto o divergente é constante:
\nabla\cdot\vec{F}=0+1+0=1.

Passo 3

Calcular a integral tripla do divergente sobre V.
  • Como \nabla\cdot\vec{F}=1 em todo V, a integral tripla é simplesmente o volume de V:
\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV=\iiint_{V}1\,dV=\operatorname{Vol}(V).
  • O volume de uma bola de raio r é \dfrac{4}{3}\pi r^{3}. Aqui r=4, então
\operatorname{Vol}(V)=\frac{4}{3}\pi(4)^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot 64=\frac{256}{3}\pi.
  • Conclusão parcial:
\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV=\frac{256}{3}\pi.

Passo 4

Preparar o cálculo do fluxo pela superfície \sigma (metodo direto).
  • Para verificar o Teorema da Divergência precisamos também calcular diretamente o fluxo
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS,
onde \vec{n} é o versor normal exterior à esfera.
  • Num ponto (x,y,z) da esfera de raio 4 a normal radial (para fora) unitária é
\vec{n}=\frac{(x,y,z)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\frac{(x,y,z)}{4}.
  • Então o produto escalar é
\vec{F}\cdot\vec{n}=(z,y,x)\cdot\frac{(x,y,z)}{4}=\frac{z x + y^{2} + x z}{4}=\frac{2xz + y^{2}}{4}.

Passo 5

Converter para coordenadas esféricas e escrever a integral de superfície.
  • Usar coordenadas esféricas com raio fixo r=4:
x=4\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=4\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=4\cos\varphi,
com \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi].
  • Elemento de área da esfera de raio 4 é
dS = r^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 16\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
  • Substituindo \vec{F}\cdot\vec{n} em termos de \varphi,\theta:
2xz = 2\cdot(4\sin\varphi\cos\theta)\cdot(4\cos\varphi)=32\sin\varphi\cos\varphi\cos\theta,
y^{2}=(4\sin\varphi\sin\theta)^{2}=16\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta.
  • Assim
\vec{F}\cdot\vec{n}=\frac{2xz+y^{2}}{4}=8\sin\varphi\cos\varphi\cos\theta+4\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta.
  • O fluxo é então
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl(8\sin\varphi\cos\varphi\cos\theta+4\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta\bigr)\cdot 16\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Simplificar o integrando e separar integrais.
  • Multiplicando por 16\sin\varphi obtemos
\bigl(8\sin\varphi\cos\varphi\cos\theta+4\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta\bigr)\cdot 16\sin\varphi =128\sin^{2}\varphi\cos\varphi\cos\theta+64\sin^{3}\varphi\sin^{2}\theta.
  • Logo o fluxo é
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\!128\sin^{2}\varphi\cos\varphi\cos\theta\,d\varphi\,d\theta +\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\!64\sin^{3}\varphi\sin^{2}\theta\,d\varphi\,d\theta.
  • Observação útil: o primeiro integrando contém \cos\theta. A integral de \cos\theta em \theta de 0 a 2\pi é zero, então o primeiro termo anula-se. Assim resta apenas o segundo termo:
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =64\int_{0}^{2\pi}\!\sin^{2}\theta\,d\theta\;\int_{0}^{\pi}\!\sin^{3}\varphi\,d\varphi.

Passo 7

Calcular a integral em \theta: \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta.
  • Usar a identidade \sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}.
  • Então
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\Bigl[\theta-\frac{\sin(2\theta)}{2}\Bigr]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{2}\cdot(2\pi-0)=\pi.

Passo 8

Calcular a integral em \varphi: \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi.
  • Usar \sin^{3}\varphi=\sin\varphi(1-\cos^{2}\varphi) e a substituição u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi.
  • Quando \varphi=0 temos u=\cos 0=1; quando \varphi=\pi temos u=\cos\pi=-1.
  • Assim
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi=\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi-\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cos^{2}\varphi\,d\varphi.
  • Com a substituição:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = [-\cos\varphi]_{0}^{\pi}= -\cos\pi +\cos 0 = -(-1)+1=2.
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cos^{2}\varphi\,d\varphi =\int_{u=1}^{u=-1} -u^{2}\,du = \int_{-1}^{1} u^{2}\,du = \Bigl[\frac{u^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{1}=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.
  • Portanto
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi = 2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 9

Finalizar a integral de superfície e comparar com a integral de volume.
  • Usando os resultados:
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =64\cdot\Bigl(\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\Bigr)\cdot\Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi\Bigr) =64\cdot\pi\cdot\frac{4}{3}=\frac{256}{3}\pi.
  • Lembrando do Passo 3, a integral tripla do divergente foi \dfrac{256}{3}\pi.
  • Conclusão: as duas integrais coincidem, logo o Teorema da Divergência está verificado para este campo e esta esfera.

Resposta

Fluxo pela superfície \sigma: \dfrac{256}{3}\pi
Integral do divergente sobre V: \dfrac{256}{3}\pi

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