Encontrar a solução explícita de cada PVI abaixo e indicar o intervalo de definição da solução.
.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e a condição inicial:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido:
- Encontrar a solução explícita
que satisfaça a equação e a condição inicial. - Indicar o intervalo de definição (onde a solução é válida e única).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação tem um termo
com singularidade em . Portanto a equação não é definida em . - A condição inicial está em
, que é um ponto positivo (maior que zero).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem. A forma padrão é
onde
e
são funções de
. Aqui, reescrevendo,
Portanto
e
.
Breve explicação didática: em uma equação linear de 1ª ordem, escrevemos o termo com
isolado e somamos o termo com
do outro lado para identificar
e
. Isso é necessário para aplicar o método do fator integrante.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. O fator integrante é definido por
Aqui
, então
Como
e estamos interessados num intervalo que contenha
, podemos tomar simplesmente
Didática: o fator integrante transforma a equação em uma derivada exata do produto
. Escolhemos o sinal absoluto em princípio, mas no intervalo em volta de
tomamos
, logo
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Simplificando o termo do lado esquerdo:
Observação importante de método: a combinação
é exatamente a derivada do produto
, pois aplicando a regra do produto,
Portanto a equação se escreve de forma compacta como
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Isso dá
onde
é constante de integração.
Agora precisamos calcular a integral do polinômio do lado direito.
Passo 6
Calcular a integral termo a termo:
Somando,
Portanto
Passo 7
Isolar
dividindo por
(lembrando
):
Simplificando as potências:
Didática: dividir por
reduz os expoentes e dá a forma explícita da solução geral. A constante
permanece multiplicada por
.
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na expressão de
:
Isto é
Calcular a soma das frações: usar denominador comum
:
Somando:
. Logo
Passo 9
Substituir
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Pode-se também escrever
como
, se preferir:
Passo 10
Determinar o intervalo de definição e falar de unicidade. A equação original tem coeficientes que são contínuos para
; por isso existe uma solução única em qualquer intervalo que não contenha
. Como a condição inicial está em
, o maior intervalo de existência e unicidade que contém
e não atravessa a singularidade em
é
.
Encorajamento final: pronto — a técnica do fator integrante é um padrão que aparece sempre em equações lineares de 1ª ordem; memoriza os passos (colocar em forma padrão, calcular
, multiplicar, reconhecer a derivada do produto, integrar, aplicar a condição inicial) e tu resolve várias dessas tranquilo na prova!
Resposta
Intervalo de definição: