(3,0) Encontrar a solução explícita de cada PVI abaixo e indicar o intervalo de definição da solução.
y^{\prime}=-\frac{2}{x} y+x^{2}+5 x-1, y(1)=0.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e a condição inicial:
  • Equação: y'=-\dfrac{2}{x}y+x^{2}+5x-1.
  • Condição inicial: y(1)=0.
O que é pedido:
  • Encontrar a solução explícita y(x) que satisfaça a equação e a condição inicial.
  • Indicar o intervalo de definição (onde a solução é válida e única).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação tem um termo -\dfrac{2}{x}y com singularidade em x=0. Portanto a equação não é definida em x=0.
  • A condição inicial está em x=1, que é um ponto positivo (maior que zero).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem. A forma padrão é
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções de x. Aqui, reescrevendo,
y' + \frac{2}{x}\,y = x^{2}+5x-1.
Portanto P(x)=\dfrac{2}{x} e Q(x)=x^{2}+5x-1.
Breve explicação didática: em uma equação linear de 1ª ordem, escrevemos o termo com y' isolado e somamos o termo com y do outro lado para identificar P(x) e Q(x). Isso é necessário para aplicar o método do fator integrante.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). O fator integrante é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Aqui P(x)=\dfrac{2}{x}, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(2\ln|x|\right).
Como \exp(2\ln|x|)=|x|^{2} e estamos interessados num intervalo que contenha x=1>0, podemos tomar simplesmente
\mu(x)=x^{2}\qquad (x\neq 0).
Didática: o fator integrante transforma a equação em uma derivada exata do produto \mu(x)y. Escolhemos o sinal absoluto em princípio, mas no intervalo em volta de x=1 tomamos x>0, logo |x|=x.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=x^{2}. Fazendo isso obtemos
x^{2}y' + x^{2}\cdot\frac{2}{x}\,y = x^{2}(x^{2}+5x-1).
Simplificando o termo do lado esquerdo:
x^{2}y' + 2x\,y = x^{4}+5x^{3}-x^{2}.
Observação importante de método: a combinação x^{2}y' + 2x y é exatamente a derivada do produto x^{2}y, pois aplicando a regra do produto,
\frac{d}{dx}(x^{2}y)=2x y + x^{2}y'.
Portanto a equação se escreve de forma compacta como
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{4}+5x^{3}-x^{2}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Isso dá
x^{2}y=\int\big(x^{4}+5x^{3}-x^{2}\big)\,dx + C,
onde C é constante de integração.
Agora precisamos calcular a integral do polinômio do lado direito.

Passo 6

Calcular a integral termo a termo:
\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5},\qquad \int 5x^{3}\,dx=5\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{5x^{4}}{4},\qquad \int -x^{2}\,dx=-\frac{x^{3}}{3}.
Somando,
\int\big(x^{4}+5x^{3}-x^{2}\big)\,dx=\frac{x^{5}}{5}+\frac{5x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}.
Portanto
x^{2}y=\frac{x^{5}}{5}+\frac{5x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+C.

Passo 7

Isolar y dividindo por x^{2} (lembrando x\neq 0):
y(x)=\frac{x^{5}}{5x^{2}}+\frac{5x^{4}}{4x^{2}}-\frac{x^{3}}{3x^{2}}+\frac{C}{x^{2}}.
Simplificando as potências:
y(x)=\frac{x^{3}}{5}+\frac{5x^{2}}{4}-\frac{x}{3}+C x^{-2}.
Didática: dividir por x^{2} reduz os expoentes e dá a forma explícita da solução geral. A constante C permanece multiplicada por x^{-2}.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(1)=0 para determinar C. Substituindo x=1 na expressão de y(x):
0=y(1)=\frac{1^{3}}{5}+\frac{5\cdot1^{2}}{4}-\frac{1}{3}+C\cdot1^{-2}.
Isto é
0=\frac{1}{5}+\frac{5}{4}-\frac{1}{3}+C.
Calcular a soma das frações: usar denominador comum 60:
\frac{1}{5}=\frac{12}{60},\qquad \frac{5}{4}=\frac{75}{60},\qquad -\frac{1}{3}=-\frac{20}{60}.
Somando: \dfrac{12+75-20}{60}=\dfrac{67}{60}. Logo
0=\frac{67}{60}+C \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{67}{60}.

Passo 9

Substituir C na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{x^{3}}{5}+\frac{5x^{2}}{4}-\frac{x}{3}-\frac{67}{60}\,x^{-2}.
Pode-se também escrever x^{-2} como \dfrac{1}{x^{2}}, se preferir:
y(x)=\frac{x^{3}}{5}+\frac{5x^{2}}{4}-\frac{x}{3}-\frac{67}{60}\cdot\frac{1}{x^{2}}.

Passo 10

Determinar o intervalo de definição e falar de unicidade. A equação original tem coeficientes que são contínuos para x\neq 0; por isso existe uma solução única em qualquer intervalo que não contenha x=0. Como a condição inicial está em x=1, o maior intervalo de existência e unicidade que contém 1 e não atravessa a singularidade em 0 é (0,\infty).
Encorajamento final: pronto — a técnica do fator integrante é um padrão que aparece sempre em equações lineares de 1ª ordem; memoriza os passos (colocar em forma padrão, calcular \mu, multiplicar, reconhecer a derivada do produto, integrar, aplicar a condição inicial) e tu resolve várias dessas tranquilo na prova!

Resposta

y(x)=\dfrac{x^{3}}{5}+\dfrac{5x^{2}}{4}-\dfrac{x}{3}-\dfrac{67}{60}\,x^{-2}
Intervalo de definição: (0,\infty)

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