(3,0) Encontrar a solução explícita de cada PVI abaixo e indicar o intervalo de definição da solução.
y \frac{d y}{d x}=x\left(1+y^{2}\right)^{-4}, y(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y\frac{dy}{dx}=x(1+y^{2})^{-4},\qquad y(0)=0.
O que se pede:
  • encontrar a solução explícita y(x) que satisfaça a condição inicial;
  • indicar o intervalo de definição dessa solução.
Informações relevantes fornecidas:
  • a equação relaciona y, dy/dx e x;
  • a condição inicial é o ponto (x,y)=(0,0).

Passo 2

Escolha do método: a equação é separável. Explicando o que é separável (mini-aula):
  • Uma equação da forma F(y)\,dy/dx = G(x) é separável porque podemos agrupar todos os termos em y no lado esquerdo e todos os termos em x no lado direito.
  • Depois integramos ambos os lados em relação às suas variáveis.
    Aqui temos um produto y\cdot(dy/dx) multiplicado por uma função de y no denominador; podemos manipular algebraicamente para separar x e y.
Vamos separar as variáveis: multiplicando ambos os lados por (1+y^{2})^{4}dx e por dx obtemos
(1+y^{2})^{4}y\,dy = x\,dx.
Agora cada lado depende só de uma variável: esquerda só de y, direita só de x. A próxima etapa é integrar.

Passo 3

Integração (mini-aula sobre substituição):
  • Para integrar \int y(1+y^{2})^{4}\,dy é conveniente usar a substituição \,u=1+y^{2}, porque du = 2y\,dy, ou seja y\,dy = \tfrac{1}{2}\,du.
  • Isso transforma a integral numa potência simples de u.
Calcule as integrais:
\int (1+y^{2})^{4}y\,dy = \int u^{4}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{5}}{5} + C = \frac{u^{5}}{10}+C.
Voltando a y:
\int (1+y^{2})^{4}y\,dy = \frac{(1+y^{2})^{5}}{10}+C.
No lado direito:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C'.
Igualando as duas primitivas (absorvendo constantes em uma só constante C):
\frac{(1+y^{2})^{5}}{10} = \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para determinar C:
  • Substituir x=0 e y=0:
\frac{(1+0^{2})^{5}}{10} = \frac{0^{2}}{2} + C \quad\Rightarrow\quad \frac{1^{5}}{10}=C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{10}.
Substituindo C na expressão implícita:
\frac{(1+y^{2})^{5}}{10} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{10}.
Multiplicando por 10:
(1+y^{2})^{5} = 5x^{2} + 1.

Passo 5

Resolver explicitamente para y:
  • Tirando quinta raiz de ambos os lados:
1+y^{2} = \bigl(5x^{2}+1\bigr)^{1/5}.
  • Isolando y^{2}:
y^{2} = \bigl(5x^{2}+1\bigr)^{1/5} - 1.
  • Finalmente:
y(x) = \pm\sqrt{\bigl(5x^{2}+1\bigr)^{1/5} - 1}.
Comentário sobre o sinal e unicidade (mini-aula e incentivo):
  • A condição y(0)=0 é satisfeita tanto pela escolha do sinal + quanto pelo sinal -, porque em x=0 a expressão dentro da raiz é zero.
  • Isso mostra que, neste problema, a solução não é única: existem pelo menos duas funções explícitas (a de sinal positivo e a de sinal negativo) que passam por (0,0).
  • Além disso, é possível construir soluções que mudam de sinal em x=0 (por exemplo, tomar y(x)=\operatorname{sgn}(x)\sqrt{\cdots}), e essas escolhas forneem outras soluções que também satisfazem a condição inicial. A não unicidade decorre do fato de que, ao isolar y', aparece divisão por y e o teorema de unicidade clássico não se aplica no ponto onde y=0.

Passo 6

Intervalo de definição da solução:
  • Verificar a expressão dentro da raiz:
\bigl(5x^{2}+1\bigr)^{1/5} - 1.
Como 5x^{2}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}, tem-se \bigl(5x^{2}+1\bigr)^{1/5}\ge 1. Portanto a quantidade dentro da raiz é sempre \ge 0, sendo zero apenas em x=0.
  • Conclusão: as expressões \pm\sqrt{\bigl(5x^{2}+1\bigr)^{1/5}-1} são bem definidas para todo x\in(-\infty,\infty). Logo o intervalo de definição (domínio) dessas soluções é toda a reta real \mathbb{R}.
Observação final amigável: apesar de algumas escolhas de sinal gerarem funções não diferenciáveis exatamente em x=0, existe pelo menos uma escolha (por exemplo a que toma o sinal igual ao sinal de x) que produz uma função C^{1} em \mathbb{R} que também satisfaz a equação e a condição inicial; de qualquer forma, todas as fórmulas acima fornecem as soluções explícitas e o domínio.

Resposta

y(x)=+\sqrt{\bigl(5x^{2}+1\bigr)^{1/5}-1},\quad x\in(-\infty,\infty)
y(x)=-\sqrt{\bigl(5x^{2}+1\bigr)^{1/5}-1},\quad x\in(-\infty,\infty)

Exercícios relacionados