Encontrar a solução explícita de cada PVI abaixo e indicar o intervalo de definição da solução.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede:
- encontrar a solução explícita
que satisfaça a condição inicial; - indicar o intervalo de definição dessa solução.
Informações relevantes fornecidas:
- a equação relaciona
, e ; - a condição inicial é o ponto
.
Passo 2
Escolha do método: a equação é separável. Explicando o que é separável (mini-aula):
- Uma equação da forma
é separável porque podemos agrupar todos os termos em no lado esquerdo e todos os termos em no lado direito. - Depois integramos ambos os lados em relação às suas variáveis.
Aqui temos um produtomultiplicado por uma função de no denominador; podemos manipular algebraicamente para separar e .
Vamos separar as variáveis: multiplicando ambos os lados por
e por
obtemos
Agora cada lado depende só de uma variável: esquerda só de
, direita só de
. A próxima etapa é integrar.
Passo 3
Integração (mini-aula sobre substituição):
- Para integrar
é conveniente usar a substituição , porque , ou seja . - Isso transforma a integral numa potência simples de
.
Calcule as integrais:
Voltando a
:
No lado direito:
Igualando as duas primitivas (absorvendo constantes em uma só constante
):
Passo 4
Aplicar a condição inicial para determinar
:
- Substituir
e :
Substituindo
na expressão implícita:
Multiplicando por
:
Passo 5
Resolver explicitamente para
:
- Tirando quinta raiz de ambos os lados:
- Isolando
:
- Finalmente:
Comentário sobre o sinal e unicidade (mini-aula e incentivo):
- A condição
é satisfeita tanto pela escolha do sinal quanto pelo sinal , porque em a expressão dentro da raiz é zero. - Isso mostra que, neste problema, a solução não é única: existem pelo menos duas funções explícitas (a de sinal positivo e a de sinal negativo) que passam por
. - Além disso, é possível construir soluções que mudam de sinal em
(por exemplo, tomar ), e essas escolhas forneem outras soluções que também satisfazem a condição inicial. A não unicidade decorre do fato de que, ao isolar , aparece divisão por e o teorema de unicidade clássico não se aplica no ponto onde .
Passo 6
Intervalo de definição da solução:
- Verificar a expressão dentro da raiz:
Como
para todo
, tem-se
. Portanto a quantidade dentro da raiz é sempre
, sendo zero apenas em
.
- Conclusão: as expressões
são bem definidas para todo . Logo o intervalo de definição (domínio) dessas soluções é toda a reta real .
Observação final amigável: apesar de algumas escolhas de sinal gerarem funções não diferenciáveis exatamente em
, existe pelo menos uma escolha (por exemplo a que toma o sinal igual ao sinal de
) que produz uma função
em
que também satisfaz a equação e a condição inicial; de qualquer forma, todas as fórmulas acima fornecem as soluções explícitas e o domínio.