Verifique o teorema de Green nos seguintes casos:
, e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para o campo de vetores
na região que é o quarto de disco de raio
no primeiro quadrante:
na região
Segundo o Teorema de Green, devemos mostrar que
onde
é orientada no sentido anti-horário.
Passo 2
Calculemos o integrando da área:
Passo 3
A integral dupla fica então
Como
é um quarto de disco de raio
,
logo
Passo 4
Agora parámetrizamos o contorno
em três trechos:
é o arco do círculo de
a
,
é o segmento vertical de
a
,
é o segmento horizontal de
a
.
Passo 5
Para o arco
:
Como
e
,
Passo 6
No segmento
:
de
a
, temos
e
.
Passo 7
No segmento
:
de
a
,
e
.
Passo 8
Somando os três trechos:
Isso coincide com a integral dupla calculada em
Passo 9
confirmando o Teorema de Green.
Resposta
As duas integrais valem
, logo o Teorema de Green está verificado.