Verifique o teorema de Green nos seguintes casos:
\mathbf{F}(x, y)=\left(x^{3}+x y^{2}\right) \mathbf{i}+\left(y x^{2}+y^{3}+3 x\right) \mathbf{j}, e
R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \left\lvert\, \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4} \leq 1\right.\right\} .

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\,\mathbf{i}+Q(x,y)\,\mathbf{j} com
P(x,y)=x^{3}+x\,y^{2},\qquad Q(x,y)=y\,x^{2}+y^{3}+3x
e a região R que é a elipse
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}\le1
O que queremos é verificar o Teorema de Green, ou seja, mostrar que
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}\bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais que aparecem no integrando do lado direito do Teorema de Green:
\tfrac{\partial Q}{\partial x} =\tfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y+y^{3}+3x\bigr) =2xy+3,
\tfrac{\partial P}{\partial y} =\tfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+x\,y^{2}\bigr) =2xy.
Logo,
\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y} =(2xy+3)-2xy =3.

Passo 3

Como o integrando é a constante 3, temos
\iint_{R}3\,dA =3\cdot\text{(área de }R).á
A área de uma elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\le1 é \pi a b. Aqui a=3 e b=2, então
\text{área de }R=\pi\cdot3\cdot2=6\pi.á
Portanto,
\iint_{R}3\,dA =3\cdot6\pi =18\pi.

Passo 4

Para confirmar a igualdade, podemos também calcular diretamente o integral de linha sobre a fronteira C: parametrizando a elipse por
x=3\cos t,\quad y=2\sin t,\quad t\in[0,2\pi],
temos
dx=-3\sin t\,dt,\quad dy=2\cos t\,dt.
Então
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\int_{0}^{2\pi}\bigl[(3\cos t)^{3}+(3\cos t)(2\sin t)^{2}\bigr](-3\sin t)\,dt +\int_{0}^{2\pi}\bigl[(2\sin t)(3\cos t)^{2}+(2\sin t)^{3}+3\,(3\cos t)\bigr](2\cos t)\,dt.
Fazendo a expansão e usando identidades trigonométricas, todos os termos que envolvem senos e cossenos se anulam por simetria, restando exatamente 18\pi. Isso coincide com o resultado do passo anterior.

Resposta

A integral de linha e a integral dupla dão o mesmo valor, a saber
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}\bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA =18\pi,
confirmando o Teorema de Green para este caso.

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