Verifique o teorema de Green nos seguintes casos:
\mathbf{F}(x, y)=(y+2) \mathbf{i}, e R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para o campo de vetores \mathbf{F}(x,y) = (P,Q) = (y+2,\,0)
na região R que é o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante:
R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2\le1,\;x\ge0,\;y\ge0\}.
Segundo o Teorema de Green, devemos mostrar que
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy \;=\;\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde C=\partial R é orientada no sentido anti-horário.

Passo 2

Calculemos o integrando da área:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = 0 \;-\;1 = -1.

Passo 3

A integral dupla fica então
\iint_{R}(-1)\,dA = -1\;\times\;\text{Área}(R).Á
Como R é um quarto de disco de raio 1,
\text{Área}(R)=\frac14\pi\cdot1^2=\frac{\pi}{4},Á
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\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA = -\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Agora parámetrizamos o contorno C em três trechos:
C_{1} é o arco do círculo de t=0 a t=\pi/2,
C_{2} é o segmento vertical de (0,1) a (0,0),
C_{3} é o segmento horizontal de (0,0) a (1,0).

Passo 5

Para o arco C_{1}:
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad t\in[0,\pi/2], \quad dx=-\sin t\,dt,\quad dy=\cos t\,dt.
Como P=y+2=\sin t+2 e Q=0,
\int_{C_1}P\,dx+Q\,dy =\int_{0}^{\pi/2}(\sin t+2)(-\,\sin t)\,dt =-\int_{0}^{\pi/2}(\sin^2 t+2\sin t)\,dt =-\Bigl(\frac{\pi}{4}+2\Bigr).

Passo 6

No segmento C_{2}: x=0,\;y=t,\;t de 1 a 0, temos dx=0,\;dy=dt e P\,dx+Q\,dy=0.
\int_{C_2}P\,dx+Q\,dy=0.

Passo 7

No segmento C_{3}: x=t,\;y=0,\;t de 0 a 1, dx=dt,\;dy=0 e P=y+2=2.
\int_{C_3}P\,dx+Q\,dy =\int_{0}^{1}2\,dt =2.

Passo 8

Somando os três trechos:
\oint_C P\,dx+Q\,dy =-\Bigl(\frac{\pi}{4}+2\Bigr)+0+2 =-\frac{\pi}{4}.
Isso coincide com a integral dupla calculada em

Passo 9

confirmando o Teorema de Green.

Resposta

As duas integrais valem -\tfrac{\pi}{4}, logo o Teorema de Green está verificado.

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