1. Considere uma partícula de massa unitária se movendo ao longo da trajetória \mathbf{r}(t), t \in[a, b], sob a ação de um campo de forças \mathbf{F}. A lei de Newton nos diz que \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}(t).
    (a) A energia cinética da partícula no instante t é dada por E_{c}(t)=\frac{1}{2}\left\|\frac{d \mathbf{r}}{d t}(t)\right\|^{2}. Mostre que o trabalho realizado pelo campo de forças \mathbf{F} é igual à variação da energia cinética, isto é,
\int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \frac{d \mathbf{r}}{d t}(t) d t=E_{c}(b)-E_{c}(a)
(Sugestão: mostre primeiro que a derivada de \left\|\frac{d \mathbf{r}}{d t}(t)\right\|^{2} é 2 \frac{d \mathbf{r}}{d t}(t) \cdot \frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}(t).)
(b) No caso em que \mathbf{F} é um campo conservativo, a energia total da partícula no instante t é dada por E_{c}(t)-f(\mathbf{r}(t)), onde f é o potencial associado a \mathbf{F}. Mostre que nesse caso a energia total é conservada ao longo do movimento.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa unitária que se move segundo a trajetória \mathbf{r}(t), t\in[a,b], sujeita a um campo de forças \mathbf{F} que satisfaz
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t).
A energia cinética é
E_c(t)=\frac12\Bigl\|\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\Bigr\|^2,
e precisamos mostrar em (a) que
\int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\,dt =E_c(b)-E_c(a),
e em (b), no caso de \mathbf{F} conservativo, provar que a energia total
E_{\rm tot}(t)=E_c(t)-f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)
é constante.

Passo 2

Primeiro note o seguinte: se definirmos
\dot{\mathbf{r}}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t), \quad \ddot{\mathbf{r}}(t)=\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t),
então, por regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\bigl\|\dot{\mathbf{r}}(t)\bigr\|^2 =\frac{d}{dt}\bigl(\dot{\mathbf{r}}(t)\cdot\dot{\mathbf{r}}(t)\bigr) =2\,\dot{\mathbf{r}}(t)\cdot\ddot{\mathbf{r}}(t).

Passo 3

Daí, como
E_c(t)=\tfrac12\|\dot{\mathbf{r}}(t)\|^2,
temos
\frac{dE_c}{dt} =\frac12\,\frac{d}{dt}\|\dot{\mathbf{r}}(t)\|^2 =\dot{\mathbf{r}}(t)\cdot\ddot{\mathbf{r}}(t) =\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\dot{\mathbf{r}}(t).
Integrando em t de a até b e usando o Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\dot{\mathbf{r}}(t)\,dt =\int_a^b\frac{dE_c}{dt}\,dt =E_c(b)-E_c(a),
que é exatamente o que se pedia em (a).

Passo 4

Agora suponha que \mathbf{F} seja conservativo, isto é, exista escalar f tal que
\mathbf{F}(\mathbf{r})=\nabla f(\mathbf{r}).
Então
\frac{d}{dt}f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\nabla f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\dot{\mathbf{r}}(t) =\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\dot{\mathbf{r}}(t).
Definindo a energia total como
E_{\rm tot}(t)=E_c(t)-f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr),
vemos que
\frac{dE_{\rm tot}}{dt} =\frac{dE_c}{dt}-\frac{d}{dt}f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\mathbf{F}\cdot\dot{\mathbf{r}} -\mathbf{F}\cdot\dot{\mathbf{r}} =0.
Logo E_{\rm tot}(t) é constante no tempo, o que mostra a conservação da energia total.

Resposta

(a) \displaystyle\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\,dt =E_{c}(b)-E_{c}(a).
(b) No caso conservativo \mathbf{F}=\nabla f, a energia total \displaystyle E_{\rm tot}(t)=E_{c}(t)-f(\mathbf{r}(t))
satisfaz \tfrac{dE_{\rm tot}}{dt}=0, ou seja, é constante.

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