Considere uma partícula de massa unitária se movendo ao longo da trajetória \mathbf{r}(t), t \in[a, b], sob a ação de um campo de forças \mathbf{F}. A lei de Newton nos diz que \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}(t).
(a) A energia cinética da partícula no instante t é dada por E_{c}(t)=\frac{1}{2}\left\|\frac{d \mathbf{r}}{d t}(t)\right\|^{2}. Mostre que o trabalho realizado pelo campo de forças \mathbf{F} é igual à variação da energia cinética, isto é,
\int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \frac{d \mathbf{r}}{d t}(t) d t=E_{c}(b)-E_{c}(a)
(Sugestão: mostre primeiro que a derivada de \left\|\frac{d \mathbf{r}}{d t}(t)\right\|^{2} é 2 \frac{d \mathbf{r}}{d t}(t) \cdot \frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}(t).)
(b) No caso em que \mathbf{F} é um campo conservativo, a energia total da partícula no instante t é dada por E_{c}(t)-f(\mathbf{r}(t)), onde f é o potencial associado a \mathbf{F}. Mostre que nesse caso a energia total é conservada ao longo do movimento.
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de massa unitária que se move segundo a trajetória \mathbf{r}(t), t\in[a,b], sujeita a um campo de forças \mathbf{F} que satisfaz
Logo E_{\rm tot}(t) é constante no tempo, o que mostra a conservação da energia total.
Resposta
(a) \displaystyle\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\,dt
=E_{c}(b)-E_{c}(a).
(b) No caso conservativo \mathbf{F}=\nabla f, a energia total \displaystyle E_{\rm tot}(t)=E_{c}(t)-f(\mathbf{r}(t))
satisfaz \tfrac{dE_{\rm tot}}{dt}=0, ou seja, é constante.