Verifique o Teorema de Green usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla.
16.
,
é a elipse
16.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de vetores
e a curva
é a elipse
, orientada positivamente.
O que queremos é verificar o Teorema de Green, que diz:
O que queremos é verificar o Teorema de Green, que diz:
onde
é a região interna à elipse. Vamos, então, calcular os dois lados dessa igualdade.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais que entram no integrando da área:
Logo,
Passo 3
Vamos avaliar a integral dupla
Para facilitar, use a mudança de variáveis
que manda a elipse
no disco unitário
, com jacobiano
. Em termos de
:
e
Logo a integral vira
O termo com
é ímpar em
e sobre o disco simétrico anula-se. Resta
Em coordenadas polares
,
,
:
Usando fórmulas de Beta, obtém-se
de modo que o valor da integral dupla é
Passo 4
Agora fazemos a integral de linha diretamente. Parametrizamos a elipse por
de modo que
Substituindo em
obtemos um integrando em
cujo único termo que sobrevive à integração não-nula é
Os demais termos, de sinais simétricos, integram zero.
Passo 5
Como as duas contas deram exatamente
, concluímos que
confirmando o Teorema de Green para este caso.
Resposta
A integral de linha e a integral dupla valem ambas
, o que verifica o Teorema de Green.