Verifique o Teorema de Green usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla.
16. P(x, y)=2 x-x^{3} y^{5}, \quad Q(x, y)=x^{3} y^{8}, C é a elipse 4 x^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de vetores
\mathbf{F}(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) \quad\text{com}\quad P(x,y)=2x - x^3y^5,\quad Q(x,y)=x^3y^8,
e a curva C é a elipse 4x^2+y^2=4, orientada positivamente.
O que queremos é verificar o Teorema de Green, que diz:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy = \iint_{D}\bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA,
onde D é a região interna à elipse. Vamos, então, calcular os dois lados dessa igualdade.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais que entram no integrando da área:
\tfrac{\partial Q}{\partial x} =\tfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^3y^8\bigr) =3x^2y^8, \qquad \tfrac{\partial P}{\partial y} =\tfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2x - x^3y^5\bigr) =-5x^3y^4.
Logo,
\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y} =3x^2y^8 + 5x^3y^4.

Passo 3

Vamos avaliar a integral dupla
\iint_{D}\bigl(3x^2y^8+5x^3y^4\bigr)\,dA.
Para facilitar, use a mudança de variáveis
u = x, \quad v = \tfrac y2,
que manda a elipse 4x^2+y^2\le4 no disco unitário u^2+v^2\le1, com jacobiano \bigl|\partial(x,y)/\partial(u,v)\bigr|=2. Em termos de u,v:
3x^2y^8+5x^3y^4 =3u^2(2v)^8 +5u^3(2v)^4 =768\,u^2v^8 +80\,u^3v^4,
e
dA = dx\,dy = 2\,du\,dv.
Logo a integral vira
\iint_{u^2+v^2\le1} \bigl(768\,u^2v^8 +80\,u^3v^4\bigr)\,2\,du\,dv.
O termo com u^3v^4 é ímpar em u e sobre o disco simétrico anula-se. Resta
1536 \iint_{u^2+v^2\le1}u^2v^8\,du\,dv.
Em coordenadas polares \,u=r\cos\theta, v=r\sin\theta, du\,dv=r\,dr\,d\theta:
1536 \int_{0}^{2\pi}\!\!\cos^2\theta\sin^8\theta\,d\theta \int_{0}^{1}r^{2+8+1}\,dr = 1536\Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\sin^8\theta\,d\theta\Bigr)\frac1{12}.
Usando fórmulas de Beta, obtém-se
\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\sin^8\theta\,d\theta =\tfrac{7\pi}{128},
de modo que o valor da integral dupla é
1536\cdot\tfrac1{12}\cdot\tfrac{7\pi}{128} =7\pi.

Passo 4

Agora fazemos a integral de linha diretamente. Parametrizamos a elipse por
x=\cos t,\quad y=2\sin t, \quad t\in[0,2\pi],
de modo que
dx=-\sin t\,dt, \quad dy=2\cos t\,dt.
Substituindo em \oint_C P\,dx+Q\,dy obtemos um integrando em t cujo único termo que sobrevive à integração não-nula é
512\int_{0}^{2\pi}\cos^4t\sin^8t\,dt =7\pi.
Os demais termos, de sinais simétricos, integram zero.

Passo 5

Como as duas contas deram exatamente 7\pi, concluímos que
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA =7\pi,
confirmando o Teorema de Green para este caso.

Resposta

A integral de linha e a integral dupla valem ambas 7\pi, o que verifica o Teorema de Green.

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