Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado, para F(x, y, z)=-y i+x j+z k e S o paraboloide z=1-x^2-y^2 com z >= 0 com orientação n exterior a S.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes aplicando-o a
vec F(x,y,z)=(-y,,x,,z)
e à superfície S dada pelo paraboloide
z=1-x^2-y^2, z>=0,
orientado com a normal exterior ao volume abaixo de S. Vamos calcular
  1. integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS
  2. ointCvec Fcdot dvec r
    onde C=partial S é a curva de interseção x^2+y^2=1, z=0, com orientação dada pela regra da mão direita.

Passo 2

Calculamos o rotacional de vec F. Com vec F=(P,Q,R)=(-y,x,z),
nablatimesvec F =l(partialy R-partialz Q, partialz P-partialx R, partialx Q-partialy Pr) =(0-0,;0-0,;1-(-1))=(0,0,2)

Passo 3

Parametrizamos S por
vec r(x,y)=(x,,y,,1-x^2-y^2), x^2+y^2<=1
Então
vec rx=(1,0,-2x) e vec ry=(0,1,-2y), logo
vec rxtimesvec ry=(2x,,2y,,1),
que é um vetor normal orientado para cima (exterior ao volume). Assim
vec n,dS=vec rxtimesvec ry,dx,dy=(2x,2y,1),dx,dy.

Passo 4

A integral de superfície fica
integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS =integral duplax^2+y^2<=1(0,0,2)cdot(2x,2y,1),dx,dy =integral duplax^2+y^2<=12,dx,dy =2cdotpi,(1)^2 =2pi

Passo 5

A curva de contorno
;C=(x,y,0)mid x^2+y^2=1
herdou de vec n (com componente z>0) a orientação anti-horária vista de cima.

Passo 6

Parametrizamos C por
vec r(t)=(cos t,sin t,0), 0<= t<=2pi,
com dfracdvec rdt=(-sin t,cos t,0). Em C temos
vec F(vec r(t))=(-sin t,cos t,0).
Então
vec Fcdot dvec r =( -sin t,cos t,0)cdot(-sin t,cos t,0),dt =sin^2t+cos^2t,dt =1,dt

Passo 7

Integrando em tin[0,2pi],
ointCvec Fcdot dvec r =integral0^2pi1,dt =2pi,
que coincide com a integral de superfície, confirmando o Teorema de Stokes.

Resposta

Ambas as integrais valem 2pi.

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