Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado, para
e
o paraboloide
com
com orientação
exterior a
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes aplicando-o a
e à superfície dada pelo paraboloide
e à superfície
orientado com a normal exterior ao volume abaixo de
. Vamos calcular
-
-
ondeé a curva de interseção , , com orientação dada pela regra da mão direita.
Passo 2
Calculamos o rotacional de
. Com
,
Passo 3
Parametrizamos
por
Então
e
, logo
que é um vetor normal orientado para cima (exterior ao volume). Assim
.
Passo 4
A integral de superfície fica
Passo 5
A curva de contorno
herdou de (com componente
) a orientação anti-horária vista de cima.
herdou de
Passo 6
Parametrizamos
por
com
. Em
temos
.
Então
Então
Passo 7
Integrando em
,
que coincide com a integral de superfície, confirmando o Teorema de Stokes.
Resposta
Ambas as integrais valem
.