Use o teorema de Stokes para calcular ointC F cdot d r, onde
F(x, y, z)=y i+z j+x k e C é a fronteira do triângulo de vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1), percorrido nessa ordem;

Passo 1

O enunciado pede ointCvec Fcdot dvec r onde vec F(x,y,z)=(y,z,x) e C é o contorno orientado do triângulo na face x+y+z=1 com vértices (1,0,0)to(0,1,0)to(0,0,1)to(1,0,0). Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz que
ointCvec Fcdot dvec r ;=;integral duplaS(nablatimes vec F)cdot vec n,dS,
onde S é a superfície triangular e vec n,dS pode ser obtido por um parametrização.

Passo 2

Calcular o rotacional de vec F. Como vec F=(F1,F2,F3)=(y,z,x), temos
nablatimes vec F =l(partial F3partial y-partial F2partial z,; partial F1partial z-partial F3partial x,; partial F2partial x-partial F1partial yr) =(-1,-1,-1)

Passo 3

Parametrizamos a face triangular por
vec r(u,v)=(u,v,1-u-v),
com domínio
D=(u,v)mid u>=0,;v>=0,;u+v<=1
As derivadas são
vec ru=(1,0,-1), vec rv=(0,1,-1),
logo o vetor de área orientado é
vec rutimes vec rv=(1,1,1)

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes,
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplaD(nablatimes vec F)cdot(vec rutimes vec rv),dA =integral duplaD(-1,-1,-1)cdot(1,1,1),dA =integral duplaD(-3),dA
Como D é um triângulo de área tfrac12, resulta
ointCvec Fcdot dvec r =-3cdot 12 =-32

Resposta

-tfrac32

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