Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.
y d xd y+2 x=5 y^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ydfracdxdy + 2x = 5y^3. Aqui a variável independente é y e a dependente é x(y). O método apropriado é tratar como uma equação linear de primeira ordem em x e usar fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão dfracdxdy + P(y)x = Q(y). Dividindo tudo por y (assumindo yneq0), obtemos:
dfracdxdy + dfrac2yx = 5y^2

Passo 3

Em equações lineares, definimos P(y)=tfrac2y. O fator integrante mu(y) é
mu(y) = e^integral P(y),dy = e^integral tfrac2ydy = e^2ln|y| = y^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão por mu(y)=y^2 para reescrevê-la como derivada de um produto:
y^2dfracdxdy + 2y,x = 5y^4
O lado esquerdo corresponde a

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a y:
integral dfracddyl(x,y^2r)dy = integral 5y^4dy implies x,y^2 = y^5 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos x:
x(y) = y^5 + Cy^2 = y^3 + C,y^-2

Resposta

x(y) = y^{3} + C,y^{-2}

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