Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro: , é a parte do paraboloide que está abaixo do plano , orientado para cima. Resp:
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo
na superfície “s” dada pelo paraboloide limitado pelo plano , orientado para cima. Vamos usar que o Teorema de Stokes diz que
Passo 2
Vamos começar calculando o rotacional de e encontrando o vetor normal orientado para cima. O rotacional é
Parametrizamos o paraboloide por vec r(x,y)=(x,y,x^2+y^2) com x^2+y^2<=1. O vetor normal (forma de gráfico) é
dvec S =(-fx,-fy,1),dx,dy =(-2x,-2y,1),dx,dy,
pois f(x,y)=x^2+y^2.
Passo 3
Agora fazemos a integral de superfície do rotacional. Temos
(nablatimesvec F)cdot dvec S = (0,0,1-2y)cdot(-2x,-2y,1)=1-2y
Logo
integral duplaS(nablatimesvec F)cdot dvec S=integral duplax^2+y^2<=1(1-2y),dx,dy
Passo 4
Para avaliar, note que
integral duplaD1,dx,dy=área(D)=pi, á
e
integral duplaDy,dx,dy=0
por simetria ímpar em y. Então
integral duplaD(1-2y),dx,dy=pi -2cdot 0=pi
Pelo Teorema de Stokes, essa é também a integral de linha de vec F ao redor da curva x^2+y^2=1,,z=1, orientada positivamente.
Passo 5
Concluímos que a integral de linha ao longo da fronteira e a integral de superfície coincidem e valem pi, confirmando o Teorema de Stokes para este caso.