Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro:
F(x, y, z)=y^2 imath+x jmath+z^2 k, s é a parte do paraboloide z=x^2+y^2 que está abaixo do plano z=1, orientado para cima. Resp: pi

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo
vec F(x,y,z)=y^2,vecimath + x,vecjmath + z^2,vec k
na superfície “s” dada pelo paraboloide z=x^2+y^2 limitado pelo plano z=1, orientado para cima. Vamos usar que o Teorema de Stokes diz que
ointpartial S!vec Fcdot dvec r=integral duplaS (nablatimesvec F)cdot dvec S

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional de vec F e encontrando o vetor normal orientado para cima. O rotacional é
nablatimesvec F= vecimath & vecjmath & vec k partialx & partialy & partialz y^2 & x & z^2 =(0,0,1-2y)
Parametrizamos o paraboloide por vec r(x,y)=(x,y,x^2+y^2) com x^2+y^2<=1. O vetor normal (forma de gráfico) é
dvec S =(-fx,-fy,1),dx,dy =(-2x,-2y,1),dx,dy,
pois f(x,y)=x^2+y^2.

Passo 3

Agora fazemos a integral de superfície do rotacional. Temos
(nablatimesvec F)cdot dvec S = (0,0,1-2y)cdot(-2x,-2y,1)=1-2y
Logo
integral duplaS(nablatimesvec F)cdot dvec S=integral duplax^2+y^2<=1(1-2y),dx,dy

Passo 4

Para avaliar, note que
integral duplaD1,dx,dy=área(D)=pi, á
e
integral duplaDy,dx,dy=0
por simetria ímpar em y. Então
integral duplaD(1-2y),dx,dy=pi -2cdot 0=pi
Pelo Teorema de Stokes, essa é também a integral de linha de vec F ao redor da curva x^2+y^2=1,,z=1, orientada positivamente.

Passo 5

Concluímos que a integral de linha ao longo da fronteira e a integral de superfície coincidem e valem pi, confirmando o Teorema de Stokes para este caso.

Resposta

pi

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