Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F d s :
F(x, y, z)=x^2 y^3 imath+sen(x y z) jmath+x y z k, S é a parte do cone y^2=x^2+z^2 que está entre os planos y=0 e y=3, orientada na direção positiva do eixo y. Resp: 2187 pi4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície ∬_S (rot F)·dS usando o Teorema de Stokes, onde F(x,y,z)=x²y³ i + sen(xyz) j + xyz k e S é a parte lateral do cone y²=x²+z² entre y=0 e y=3, orientada com a normal apontando para o lado de y positivo. Pelo Teorema de Stokes, essa integral é igual à integral de linha de F ao longo da fronteira de S.

Passo 2

A fronteira ∂S é a curva onde o cone encontra o plano y=3 (na base superior). Nessa interseção temos y=3 e x²+z²=9, ou seja, um círculo de raio 3 no plano y=3. Para orientar segundo Stokes (normal de S com componente positiva em y), esse círculo deve ser percorrido no sentido anti-horário quando visto de y>0.

Passo 3

Parametrizamos ∂S por
r(t)=l(3cos t,,3,,3sin tr), tin[0,2pi],
então
dx=-3\sin t,dt,\quad dy=0,\quad dz=3\cos t,dt.
Em r(t) temos
Fl(r(t)r)=l(243cos^2 t,;sin(27cos tsin t),;27cos tsin tr)
e
dr=\bigl(-3\sin t,,0,,3\cos t\bigr)dt.
Logo o produto escalar é
Fcdot dr=243cos^2 t(-3sin t)dt+27cos tsin t(3cos t)dt=-648cos^2 tsin t,dt

Passo 4

Basta então calcular
integral0^2pi-648cos^2 tsin t,dt
Fazendo u=\cos t ⇒ du=-\sin t,dt, os limites vão de u(0)=1 até u(2π)=1, e a integral se anula. Portanto

Resposta

0

Exercícios relacionados