Use o Teorema de Stokes para calcular
:
é a parte do cone
que está entre os planos
e
, orientada na direção positiva do eixo
. Resp:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície ∬_S (rot F)·dS usando o Teorema de Stokes, onde F(x,y,z)=x²y³ i + sen(xyz) j + xyz k e S é a parte lateral do cone y²=x²+z² entre y=0 e y=3, orientada com a normal apontando para o lado de y positivo. Pelo Teorema de Stokes, essa integral é igual à integral de linha de F ao longo da fronteira de S.
Passo 2
A fronteira ∂S é a curva onde o cone encontra o plano y=3 (na base superior). Nessa interseção temos y=3 e x²+z²=9, ou seja, um círculo de raio 3 no plano y=3. Para orientar segundo Stokes (normal de S com componente positiva em y), esse círculo deve ser percorrido no sentido anti-horário quando visto de y>0.
Passo 3
Parametrizamos ∂S por
então
dx=-3\sin t,dt,\quad dy=0,\quad dz=3\cos t,dt.
Em r(t) temos
dx=-3\sin t,dt,\quad dy=0,\quad dz=3\cos t,dt.
Em r(t) temos
e
dr=\bigl(-3\sin t,,0,,3\cos t\bigr)dt.
Logo o produto escalar é
dr=\bigl(-3\sin t,,0,,3\cos t\bigr)dt.
Logo o produto escalar é
Passo 4
Basta então calcular
Fazendo u=\cos t ⇒ du=-\sin t,dt, os limites vão de u(0)=1 até u(2π)=1, e a integral se anula. Portanto
Resposta
0