Em cada item, determine o plano tangente ao gráfico da função f em (x0, y0).
f(x, y)=e^x-y,(x0, y0)=(2,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o plano tangente ao gráfico da função no ponto . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariable, especificamente sobre planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto dado f(2, 2) = e^2 - 2 = e^0 = 1 . Substituindo e na função:
Então, sabemos que .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função fx = partial fpartial x = e^x - y em relação a fy = partial fpartial y = -e^x - y e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Em seguida, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto fx(2, 2) = e^2 - 2 = e^0 = 1 :
fy(2, 2) = -e^2 - 2 = -e^0 = -1
Então, temos e .

Passo 5

Com esses valores, podemos usar a fórmula do plano tangente:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo z = 1 + 1 cdot (x - 2) - 1 cdot (y - 2) , , , e :

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
z = 1 + (x - 2) - (y - 2)
z = 1 + x - 2 - y + 2
z = x - y + 1

Resposta

O plano tangente ao gráfico de z = x - y + 1 no ponto é dado por:

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