(b) Verifique que, para todo C, a função a seguir é uma solução de y^{\prime}=\sqrt{1-y^{2}} :\n \ny(x)= \begin{cases}-1 & \text { se } x<C-\pi \\\ \sin (x+C) & \text { se } C-\pi \leq x<C+\pi \\\\ 1 & \text { se } C+\pi \leq x\end{cases}\n

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, para todo C\), a função \[y(x)= \begin{cases}-1 & \text{se } x<C-\pi \\\ \sin (x+C) & \text{se } C-\pi \leq x<C+\pi \\\\ 1 & \text{se } C+\pi \leq x\end{cases}
é uma solução da equação diferencial
y'=\sqrt{1-y^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é definida por partes em três regiões do eixo real: à esquerda de C-\pi\], no intervalo fechado à esquerda \([C-\pi,\,C+\pi) e à direita de C+\pi.
  • A equação diferencial relaciona a derivada y' com \sqrt{1-y^{2}}, a raiz quadrada principal (ou seja, sempre não negativa).
  • O que se pede é verificar (ou refutar) que essa função satisfaz a igualdade y'(x)=\sqrt{1-y(x)^{2}} para todo x (e para todo parâmetro C).

Passo 2

Analisar a parte esquerda: região x<C-\pi, onde y(x)=-1.
  • Aqui y é constante, logo a derivada é
y'(x)=0\quad\text{para }x<C-\pi.
  • Calcular o lado direito da EDO:
\sqrt{1-y(x)^2}=\sqrt{1-(-1)^2}=\sqrt{1-1}=\sqrt{0}=0.
  • Conclusão nesta região: a igualdade
y'(x)=\sqrt{1-y(x)^2}
é satisfeita (pois 0=0) para todo x<C-\pi.

Passo 3

Analisar a parte direita: região x\ge C+\pi, onde y(x)=1.
  • Novamente y é constante, então
y'(x)=0\quad\text{para }x>C+\pi.
  • O lado direito da EDO é
\sqrt{1-y(x)^2}=\sqrt{1-1^2}=\sqrt{0}=0.
  • Conclusão nesta região: a igualdade também é satisfeita (pois 0=0) para todo x>C+\pi.

Passo 4

Analisar a parte central: C-\pi \le x < C+\pi, onde y(x)=\sin(x+C).
  • Calcular a derivada (regra básica: derivada do seno é cosseno):
y'(x)=\frac{d}{dx}\sin(x+C)=\cos(x+C).
  • Calcular o lado direito da EDO:
\sqrt{1-y(x)^2}=\sqrt{1-\sin^2(x+C)}=\sqrt{\cos^2(x+C)}=|\cos(x+C)|.
(Aqui é importante notar: \sqrt{\cos^2(\cdot)} é o valor absoluto |\cos(\cdot)|, sempre não negativo.)
  • Portanto, na parte central a equação diferencial se reduz a verificar
\cos(x+C)=|\cos(x+C)|.
Isto só é verdade quando \cos(x+C)\ge 0. Ou seja, a identidade se sustenta apenas nos pontos onde o cosseno é não negativo; onde \cos(x+C)<0 teremos \cos(x+C)\neq|\cos(x+C)| e a igualdade falha.

Passo 5

Mostrar que, em geral, existem pontos na parte central onde \cos(x+C)<0, portanto a igualdade falha ali — logo a função não satisfaz a EDO em toda a parte central.
  • O argumento t:=x+C varia, para x em [C-\pi,\,C+\pi), entre
t\in[2C-\pi,\;2C+\pi).
Esse é um intervalo de comprimento 2\pi. Em qualquer intervalo de comprimento 2\pi a função \cos t assume valores positivos e negativos (porque \cos tem período 2\pi e cruza zero e muda de sinal dentro de cada período). Portanto existem pontos x em [C-\pi,\,C+\pi) tais que \cos(x+C)<0.
  • Em qualquer um desses pontos, temos y'(x)=\cos(x+C)<0 enquanto \sqrt{1-y^2}=|\cos(x+C)|>0. Logo a igualdade y'(x)=\sqrt{1-y^2} é violada nesses pontos.
  • Exemplo concreto para intuição: escolha C=0. Então a parte central é x\in[-\pi,\pi) e y(x)=\sin x. Tomemos x=3\pi/4\in[-\pi,\pi). Então
y'(x)=\cos(3\pi/4)=-\frac{\sqrt{2}}{2}<0,
enquanto
\sqrt{1-y(x)^2}=\sqrt{1-\sin^2(3\pi/4)}=\sqrt{\cos^2(3\pi/4)}=+\frac{\sqrt{2}}{2}>0,
portanto y'(x)\neq\sqrt{1-y(x)^2} naquele ponto. Assim a função NÃO satisfaz a EDO para todo x quando C=0; o mesmo tipo de contradição ocorre para qualquer C.

Passo 6

Verificar a continuidade e diferenciabilidade nos pontos de emenda x=C-\pi e x=C+\pi (para completar a análise sobre solução clássica).
  • Limite vindo da esquerda em x=C-\pi é -1. O valor pela definição no ponto (parte central) é \sin((C-\pi)+C)=\sin(2C-\pi)=-\sin(2C). Para serem iguais seria preciso -\sin(2C)=-1, ou seja \sin(2C)=1, o que impõe condições específicas sobre C.
  • Limite vindo da direita em x=C+\pi (considerando o valor da parte central à esquerda do ponto) é \sin((C+\pi)+C)=\sin(2C+\pi)=-\sin(2C); o valor para a parte direita é 1. Para coincidir seria preciso -\sin(2C)=1, ou seja \sin(2C)=-1.
  • Essas duas condições são incompatíveis simultaneamente, portanto, em geral, a função apresenta descontinuidade (ou pelo menos não é diferenciável) em um ou ambos os pontos de emenda para valores genéricos de C. Assim não é uma função C^1 globalmente para todo C, o que também impede ser solução clássica em todo \mathbb{R}.

Passo 7

Síntese e conclusão final: onde a função satisfaz a EDO e onde falha.
  • Nas regiões exteriores ( x<C-\pi e x>C+\pi) a função satisfaz a EDO (ambos os lados iguais a 0).
  • Na região central C-\pi\le x<C+\pi a EDO requer \cos(x+C)=|\cos(x+C)|, ou seja \cos(x+C)\ge0. Mas em geral, dentro desse intervalo existem pontos com \cos(x+C)<0. Nesses pontos a igualdade é falsa.
  • Além disso, em geral a função não é contínua nem diferenciável nos pontos de emenda, o que impede que seja uma solução clássica em toda a reta.

Resposta

A afirmação é falsa: a função não é solução de y'=\sqrt{1-y^{2}} para todo C. Ela satisfaz a EDO nas partes constantes à esquerda e à direita, mas na parte central y=\sin(x+C) a EDO exige \cos(x+C)=|\cos(x+C)|, o que falha em pontos onde \cos(x+C)<0; além disso a função não é, em geral, contínua nem diferenciável nos pontos x=C\pm\pi.

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