(b) Verifique que, para todo
, a função a seguir é uma solução de
:\n
Passo 1
O enunciado pede para verificar que, para todo
é uma solução da equação diferencial
Informações relevantes dadas:
- A função é definida por partes em três regiões do eixo real: à esquerda de
e à direita de
. - A equação diferencial relaciona a derivada
com , a raiz quadrada principal (ou seja, sempre não negativa). - O que se pede é verificar (ou refutar) que essa função satisfaz a igualdade
para todo (e para todo parâmetro ).
Passo 2
Analisar a parte esquerda: região
, onde
.
- Aqui
é constante, logo a derivada é
- Calcular o lado direito da EDO:
- Conclusão nesta região: a igualdade
é satisfeita (pois
) para todo
.
Passo 3
Analisar a parte direita: região
, onde
.
- Novamente
é constante, então
- O lado direito da EDO é
- Conclusão nesta região: a igualdade também é satisfeita (pois
) para todo .
Passo 4
Analisar a parte central:
, onde
.
- Calcular a derivada (regra básica: derivada do seno é cosseno):
- Calcular o lado direito da EDO:
(Aqui é importante notar:
é o valor absoluto
, sempre não negativo.)
- Portanto, na parte central a equação diferencial se reduz a verificar
Isto só é verdade quando
. Ou seja, a identidade se sustenta apenas nos pontos onde o cosseno é não negativo; onde
teremos
e a igualdade falha.
Passo 5
Mostrar que, em geral, existem pontos na parte central onde
, portanto a igualdade falha ali — logo a função não satisfaz a EDO em toda a parte central.
- O argumento
varia, para em , entre
Esse é um intervalo de comprimento
. Em qualquer intervalo de comprimento
a função
assume valores positivos e negativos (porque
tem período
e cruza zero e muda de sinal dentro de cada período). Portanto existem pontos
em
tais que
.
- Em qualquer um desses pontos, temos
enquanto . Logo a igualdade é violada nesses pontos. - Exemplo concreto para intuição: escolha
. Então a parte central é e . Tomemos . Então
enquanto
portanto
naquele ponto. Assim a função NÃO satisfaz a EDO para todo
quando
; o mesmo tipo de contradição ocorre para qualquer
.
Passo 6
Verificar a continuidade e diferenciabilidade nos pontos de emenda
e
(para completar a análise sobre solução clássica).
- Limite vindo da esquerda em
é . O valor pela definição no ponto (parte central) é . Para serem iguais seria preciso , ou seja , o que impõe condições específicas sobre . - Limite vindo da direita em
(considerando o valor da parte central à esquerda do ponto) é ; o valor para a parte direita é . Para coincidir seria preciso , ou seja . - Essas duas condições são incompatíveis simultaneamente, portanto, em geral, a função apresenta descontinuidade (ou pelo menos não é diferenciável) em um ou ambos os pontos de emenda para valores genéricos de
. Assim não é uma função globalmente para todo , o que também impede ser solução clássica em todo .
Passo 7
Síntese e conclusão final: onde a função satisfaz a EDO e onde falha.
- Nas regiões exteriores (
e ) a função satisfaz a EDO (ambos os lados iguais a ). - Na região central
a EDO requer , ou seja . Mas em geral, dentro desse intervalo existem pontos com . Nesses pontos a igualdade é falsa. - Além disso, em geral a função não é contínua nem diferenciável nos pontos de emenda, o que impede que seja uma solução clássica em toda a reta.
Resposta
A afirmação é falsa: a função não é solução de
para todo
. Ela satisfaz a EDO nas partes constantes à esquerda e à direita, mas na parte central
a EDO exige
, o que falha em pontos onde
; além disso a função não é, em geral, contínua nem diferenciável nos pontos
.