Considere o p.v.i.\n
\n(a) Determine os valores de
e
para os quais o p. v. i. tem uma única solução.
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial (p.v.i.)
e pede: para quais valores de
e
esse p.v.i. tem uma única solução?
Informações dadas e perguntas claras:
- A equação é
. - A condição inicial é
. - Pergunta-se os valores de
e para os quais existe exatamente uma solução (unicidade). - Observação imediata: a função
só está definida para , então o valor inicial precisa satisfazer essa restrição para haver solução (caso contrário não existe solução).
Passo 2
Resolver a EDO por separação de variáveis (a técnica mais direta aqui).
A equação é separável porque pode-se escrever todos os termos em de um lado e em
do outro:
A equação é separável porque pode-se escrever todos os termos em
Explicando a ideia: separar significa trazer
junto da expressão que depende de
e
do outro lado, para então integrar ambos os lados. Isso é permitido sempre que
localmente, e podemos estender por continuidade.
Integramos os dois lados. A primitiva de
é a função arco-seno:
Do lado direito
Igualando (absorvendo constantes) obtemos a relação de integração
onde
é constante arbitrária. Portanto a solução geral implícita é
Passo 3
Aplicar a condição inicial
.
Colocando na solução geral:
Colocando
Tomando
(valores principais em
) dá
ou seja
Substituindo em
obtemos a solução explícita que passa por
:
Observação sobre domínio: para que
exista (no sentido real) é necessário
. Logo não há solução real se
.
Passo 4
Agora analisamos a unicidade. Vou explicar a ferramenta que usamos: o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf (às vezes chamado só de Teorema de Picard). Ele afirma, em palavras simples:
- Se a função
do lado direito de é contínua em uma vizinhança do ponto inicial e é Lipschitz em nessa vizinhança (isto é, não varia “rápido demais” em ), então existe uma única solução local passando pelo ponto inicial.
No nosso caso
não depende de
,
. Vamos ver onde
é Lipschitz em
:
-
é contínua em todo o intervalo . - Se
então existe um pequeno intervalo fechado ao redor de contido em onde é até . Calculando a derivada em (quando ):
Numa vizinhança fechada contida em
essa derivada é limitada, portanto
é Lipschitz ali. Pelo teorema, para qualquer
e qualquer
existe uma única solução local. Como a solução explícita
é definida para todo
e pertence a
(na verdade estritamente entre
e
para
em algum intervalo), essa solução é a única solução global também — ou seja, unicidade global nessas condições.
Passo 5
Tratar os casos extremos [b=\pm 1) (pontos onde a condição Lipschitz falha) e mostrar por construção que há não-unicidade nesses pontos.
Primeiro, verifique que as funções constantes e
são soluções:
Primeiro, verifique que as funções constantes
- Se
então e , logo a equação é satisfeita. - Mesma verificação para
.
Por outro lado, a solução obtida por separação com
(usando
) é
que também satisfaz
. Assim já temos pelo menos duas soluções com a mesma condição inicial
: a constante
e
.
Além disso, pode-se construir infinitas soluções “colar” a constante com a solução trigonométrica em tempos distintos: para qualquer
definir
No ponto de junção
e a derivada lateral é
(porque a derivada da constante é
e a derivada da função
em
é também
), então
é
e satisfaz a equação em todo domínio. Assim existem infinitas soluções distintas para
. Mesmo raciocínio vale para
. Portanto em
não há unicidade.]
Passo 6
Resumo final dos três tipos de casos (existência e unicidade):
- Se
: não existe solução real porque não é real. - Se
: existe e é única a solução global, dada por
- Se
: existem múltiplas (infinitas) soluções; portanto o p.v.i. não tem unicidade nesses casos.
Resposta
Para qualquer
e qualquer
o p.v.i. tem uma única solução.
Se não existe solução real.
Se existem múltiplas soluções (não há unicidade).
Se
Se