Considere o p.v.i.\n \ny^{\prime}=\sqrt{1-y^{2}}, \quad y(a)=b\n\n(a) Determine os valores de a e b para os quais o p. v. i. tem uma única solução.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial (p.v.i.)
y'=\sqrt{1-y^{2}},\qquad y(a)=b,
e pede: para quais valores de a e b esse p.v.i. tem uma única solução?
Informações dadas e perguntas claras:
  • A equação é \,y'=\sqrt{1-y^{2}}\,.
  • A condição inicial é \,y(a)=b\,.
  • Pergunta-se os valores de a e b para os quais existe exatamente uma solução (unicidade).
  • Observação imediata: a função \sqrt{1-y^{2}} só está definida para |y|\le 1, então o valor inicial b precisa satisfazer essa restrição para haver solução (caso contrário não existe solução).

Passo 2

Resolver a EDO por separação de variáveis (a técnica mais direta aqui).
A equação é separável porque pode-se escrever todos os termos em y de um lado e em x do outro:
\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=dx.
Explicando a ideia: separar significa trazer dy junto da expressão que depende de y e dx do outro lado, para então integrar ambos os lados. Isso é permitido sempre que \sqrt{1-y^{2}}\neq0 localmente, e podemos estender por continuidade.
Integramos os dois lados. A primitiva de 1/\sqrt{1-y^{2}} é a função arco-seno:
\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\arcsin(y)+C.
Do lado direito
\int dx = x + C'.
Igualando (absorvendo constantes) obtemos a relação de integração
\arcsin(y)=x+C,
onde C é constante arbitrária. Portanto a solução geral implícita é
y(x)=\sin(x+C).

Passo 3

Aplicar a condição inicial \,y(a)=b\,.
Colocando x=a na solução geral:
b=y(a)=\sin(a+C).
Tomando \arcsin (valores principais em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]) dá
\arcsin(b)=a+C,
ou seja
C=\arcsin(b)-a.
Substituindo em y(x)=\sin(x+C) obtemos a solução explícita que passa por (a,b):
y(x)=\sin\bigl(x-a+\arcsin(b)\bigr).
Observação sobre domínio: para que \arcsin(b) exista (no sentido real) é necessário b\in[-1,1]. Logo não há solução real se |b|>1.

Passo 4

Agora analisamos a unicidade. Vou explicar a ferramenta que usamos: o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf (às vezes chamado só de Teorema de Picard). Ele afirma, em palavras simples:
  • Se a função f(x,y) do lado direito de y'=f(x,y) é contínua em uma vizinhança do ponto inicial e é Lipschitz em y nessa vizinhança (isto é, não varia “rápido demais” em y), então existe uma única solução local passando pelo ponto inicial.
No nosso caso f não depende de x, f(y)=\sqrt{1-y^{2}}. Vamos ver onde f é Lipschitz em y:
  • f é contínua em todo o intervalo [-1,1].
  • Se b\in(-1,1) então existe um pequeno intervalo fechado ao redor de b contido em (-1,1) onde f é até C^1. Calculando a derivada em y (quando |y|<1):
f'(y)=\frac{d}{dy}\sqrt{1-y^{2}}=-\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}.
Numa vizinhança fechada contida em (-1,1) essa derivada é limitada, portanto f é Lipschitz ali. Pelo teorema, para qualquer a\in\mathbb{R} e qualquer b\in(-1,1) existe uma única solução local. Como a solução explícita y(x)=\sin(x-a+\arcsin(b)) é definida para todo x e pertence a (-1,1) (na verdade estritamente entre -1 e 1 para b\in(-1,1) em algum intervalo), essa solução é a única solução global também — ou seja, unicidade global nessas condições.

Passo 5

Tratar os casos extremos [b=\pm 1) (pontos onde a condição Lipschitz falha) e mostrar por construção que há não-unicidade nesses pontos.
Primeiro, verifique que as funções constantes y(x)\equiv 1 e y(x)\equiv -1 são soluções:
  • Se y\equiv 1 então y'=0 e \sqrt{1-y^{2}}=\sqrt{1-1}=0, logo a equação é satisfeita.
  • Mesma verificação para y\equiv -1.
Por outro lado, a solução obtida por separação com b=1 (usando \arcsin(1)=\tfrac{\pi}{2}) é
y(x)=\sin\bigl(x-a+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos(x-a),
que também satisfaz y(a)=1. Assim já temos pelo menos duas soluções com a mesma condição inicial y(a)=1: a constante 1 e \cos(x-a).
Além disso, pode-se construir infinitas soluções “colar” a constante com a solução trigonométrica em tempos distintos: para qualquer T\ge 0 definir
y_T(x)=\begin{cases} 1, & a\le x\le a+T,\\[4pt] \sin\bigl(x-(a+T)+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\bigl(x-(a+T)\bigr), & x>a+T. \end{cases}
No ponto de junção x=a+T\] tem-se \(y_T(a+T)=1 e a derivada lateral é 0 (porque a derivada da constante é 0 e a derivada da função \cos em 0 é também 0), então y_T é C^1 e satisfaz a equação em todo domínio. Assim existem infinitas soluções distintas para b=1. Mesmo raciocínio vale para b=-1. Portanto em b=\pm1 não há unicidade.]

Passo 6

Resumo final dos três tipos de casos (existência e unicidade):
  • Se |b|>1: não existe solução real porque \sqrt{1-b^{2}} não é real.
  • Se b\in(-1,1): existe e é única a solução global, dada por
y(x)=\sin\bigl(x-a+\arcsin(b)\bigr).
  • Se b=\pm 1: existem múltiplas (infinitas) soluções; portanto o p.v.i. não tem unicidade nesses casos.

Resposta

Para qualquer a\in\mathbb{R} e qualquer b\in(-1,1) o p.v.i. tem uma única solução.
Se |b|>1 não existe solução real.
Se b=\pm1 existem múltiplas soluções (não há unicidade).

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