Calcule as seguintes integrais:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O intervalo de integração é de
até . - A função integranda é
.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Motivação da técnica a usar (explicação didática): ao ver um integrando que envolve
e também um fator
, é natural tentar a substituição
porque a derivada de
é
, logo o diferencial se relaciona com
de forma simples. Vou explicar isso devagarinho.
Passo 3
Detalhando a substituição:
Defina Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Defina
Isso significa que
. Note que todo o fator
presente na integral vira simplesmente
. Agora ajustamos os limites de integração usando
:
- Quando
, temos - Quando
, temos
Passo 4
Reescrevendo a integral em termos de
: substituir
e
dá
Para ficar explícito,
.
Passo 5
Aprendendo a regra de potência para integrais (passo-a-passo): a primitiva de
(para
) é
Aqui
. Aplicando a regra:
Explicando cada termo:
significa
; o fator
vem de dividir por
.
Passo 6
Avaliação da integral definida usando a primitiva encontrada:
Calcule cada valor:
Agora subtrair o valor em
do valor em
:
Passo 7
Comentário extra (dica prática para prova): uma observação útil é que podia-se também reconhecer diretamente que
ou seja,
. Isso leva à mesma primitiva
sem escrever a substituição explicitamente — é um atalho válido quando se reconhece o padrão.