Calcule as seguintes integrais:
d) \int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{d x}{x(\ln x)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{d x}{x(\ln x)^{3}}.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é de x=\mathrm{e} até x=\mathrm{e}^{2}.
  • A função integranda é \dfrac{1}{x(\ln x)^{3}}.
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Motivação da técnica a usar (explicação didática): ao ver um integrando que envolve \ln x e também um fator 1/x, é natural tentar a substituição
u=\ln x,
porque a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}, logo o diferencial se relaciona com dx de forma simples. Vou explicar isso devagarinho.

Passo 3

Detalhando a substituição:
Defina \;u=\ln x. Diferenciando ambos os lados em relação a x,
du=\frac{1}{x}\,dx.
Isso significa que \dfrac{dx}{x}=du. Note que todo o fator \dfrac{1}{x}\,dx presente na integral vira simplesmente du. Agora ajustamos os limites de integração usando \;u=\ln x:
  • Quando x=\mathrm{e}, temos u=\ln(\mathrm{e})=1.
  • Quando x=\mathrm{e}^{2}, temos u=\ln(\mathrm{e}^{2})=2.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de u: substituir \dfrac{dx}{x}=du e \ln x = u
\int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{dx}{x(\ln x)^{3}} = \int_{1}^{2} \frac{du}{u^{3}}.
Para ficar explícito, \dfrac{1}{u^{3}}=u^{-3}.

Passo 5

Aprendendo a regra de potência para integrais (passo-a-passo): a primitiva de u^{n} (para n\neq -1) é
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-3. Aplicando a regra:
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2}\,u^{-2} + C.
Explicando cada termo: u^{-2} significa \dfrac{1}{u^{2}}; o fator -\dfrac{1}{2} vem de dividir por n+1=-2.

Passo 6

Avaliação da integral definida usando a primitiva encontrada:
\int_{1}^{2} u^{-3}\,du = \left[-\frac{1}{2}\,u^{-2}\right]_{1}^{2}.
Calcule cada valor:
-\frac{1}{2}\cdot 2^{-2} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} = -\frac{1}{8},
-\frac{1}{2}\cdot 1^{-2} = -\frac{1}{2}\cdot 1 = -\frac{1}{2}.
Agora subtrair o valor em u=1 do valor em u=2:
\left(-\frac{1}{8}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}.

Passo 7

Comentário extra (dica prática para prova): uma observação útil é que podia-se também reconhecer diretamente que
\frac{d}{dx}\bigl((\ln x)^{-2}\bigr) = -2\frac{1}{x}(\ln x)^{-3},
ou seja, \dfrac{1}{x(\ln x)^{3}} = -\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dx}\bigl((\ln x)^{-2}\bigr). Isso leva à mesma primitiva -\tfrac{1}{2}(\ln x)^{-2} sem escrever a substituição explicitamente — é um atalho válido quando se reconhece o padrão.

Resposta

\dfrac{3}{8}

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