Se
A=\left[\begin{array}{ccc} \lambda-3 & 0 & 3 \\\\ 0 & \lambda+2 & 0 \\\\ -5 & 0 & \lambda+5 \end{array}\right]
encontre todos os valores de \lambda para os quais o sistema homogêneo \mathrm{Ax}=0 tem apenas a soluçāo trivial (Dica: Determinante).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} \lambda-3 & 0 & 3 \\\\ 0 & \lambda+2 & 0 \\\\ -5 & 0 & \lambda+5 \end{array}\right]
e pede: encontrar todos os valores de \lambda para os quais o sistema homogêneo A x = 0 tem apenas a solução trivial.
Informações relevantes dadas:
  • Os elementos da matriz dependem do parâmetro \lambda.
  • O sistema é homogêneo ( A x=0).
  • A dica do enunciado indica usar o determinante.

Passo 2

Entendendo o critério que vamos usar (explicação didática e intuitiva).
Quando temos um sistema linear homogêneo A x = 0 (com A quadrada), duas situações são possíveis:
  • Se \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível e a única solução é a solução trivial x=0.
  • Se \det(A)=0, a matriz não é invertível e existe pelo menos uma solução não trivial (ou seja, infinitas soluções não nulas).
Por isso basta calcular \det(A) e achar para quais \lambda ele é diferente de zero. Vou explicar como calcular o determinante passo a passo.

Passo 3

Cálculo do determinante de A. Repare que a coluna do meio tem zeros em todas as entradas exceto a do meio, isto facilita a expansão por essa coluna. Escrevendo o determinante:
\det(A)= \begin{vmatrix} \lambda-3 & 0 & 3 \\\\ 0 & \lambda+2 & 0 \\\\ -5 & 0 & \lambda+5 \end{vmatrix}.
Expandindo pela segunda coluna (índice de coluna j=2), apenas o elemento da linha 2 contribui porque os outros são zero. O sinal do cofator é (-1)^{2+2}=+1. Assim:
\det(A)=(\lambda+2)\cdot \begin{vmatrix} \lambda-3 & 3 \\\\ -5 & \lambda+5 \end{vmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos o determinante 2\times2 mostrado acima:
\begin{vmatrix} \lambda-3 & 3 \\\\ -5 & \lambda+5 \end{vmatrix} =(\lambda-3)(\lambda+5) - (3)(-5).
Faço as contas passo a passo:
(\lambda-3)(\lambda+5)=\lambda^2+5\lambda-3\lambda-15=\lambda^2+2\lambda-15,
(3)(-5)=-15,
então
(\lambda-3)(\lambda+5)-3(-5)=(\lambda^2+2\lambda-15)-(-15)=\lambda^2+2\lambda.
Note que \lambda^2+2\lambda=\lambda(\lambda+2). Substituindo de volta em \det(A):
\det(A)=(\lambda+2)\cdot\bigl(\lambda(\lambda+2)\bigr)=\lambda(\lambda+2)^2.

Passo 5

Analisando quando \det(A)\neq 0. A expressão obtida é
\det(A)=\lambda(\lambda+2)^2.
Essa expressão é zero exatamente quando \lambda=0 ou \lambda=-2. Para todos os outros valores de \lambda o determinante é diferente de zero. Pelo critério do Passo 2, isso significa que o sistema homogêneo A x=0 tem apenas a solução trivial sempre que \lambda\neq 0 e \lambda\neq -2. (Se \lambda=0 ou \lambda=-2 então \det(A)=0 e existem soluções não triviais.)

Resposta

\lambda\neq 0 e \lambda\neq -2

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