e pede: encontrar todos os valores de \lambda para os quais o sistema homogêneo A x = 0 tem apenas a solução trivial.
Informações relevantes dadas:
Os elementos da matriz dependem do parâmetro \lambda.
O sistema é homogêneo (A x=0).
A dica do enunciado indica usar o determinante.
Passo 2
Entendendo o critério que vamos usar (explicação didática e intuitiva).
Quando temos um sistema linear homogêneo A x = 0 (com A quadrada), duas situações são possíveis:
Se \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível e a única solução é a solução trivial x=0.
Se \det(A)=0, a matriz não é invertível e existe pelo menos uma solução não trivial (ou seja, infinitas soluções não nulas).
Por isso basta calcular \det(A) e achar para quais \lambda ele é diferente de zero. Vou explicar como calcular o determinante passo a passo.
Passo 3
Cálculo do determinante de A. Repare que a coluna do meio tem zeros em todas as entradas exceto a do meio, isto facilita a expansão por essa coluna. Escrevendo o determinante:
Expandindo pela segunda coluna (índice de coluna j=2), apenas o elemento da linha 2 contribui porque os outros são zero. O sinal do cofator é (-1)^{2+2}=+1. Assim:
Analisando quando \det(A)\neq 0. A expressão obtida é
\det(A)=\lambda(\lambda+2)^2.
Essa expressão é zero exatamente quando \lambda=0 ou \lambda=-2. Para todos os outros valores de \lambda o determinante é diferente de zero. Pelo critério do Passo 2, isso significa que o sistema homogêneo A x=0 tem apenas a solução trivial sempre que \lambda\neq 0 e \lambda\neq -2. (Se \lambda=0 ou \lambda=-2 então \det(A)=0 e existem soluções não triviais.)