Verifique qual transformação linear abaixo é injetora:
T: R^2 R^2, definido por T(x, y)=(x+3 y,-x+y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear T: R^2 to R^2, definida por T(x,y) = (x + 3y,,-x + y), é injetora. O conteúdo é transformação linear e injetividade, e vamos usar a definição de núcleo (kernel) e também o determinante da matriz associada.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz de T na base canônica. Como T(x,y) = (1cdot x + 3cdot y,,-1cdot x + 1cdot y), temos
A = 1 & 3 -1 & 1

Passo 3

Para checar injetividade via núcleo, resolvemos T(x,y) = (0,0). Isso dá o sistema:
x + 3y = 0, -,x + y = 0
Da segunda equação vem y = x. Substituindo na primeira: x + 3x = 4x = 0, então x = 0 e y = 0. Como a única solução é o vetor nulo, o núcleo é trivial.

Passo 4

Outra forma rápida é calcular o determinante de A. Temos
det(A) = (1)(1) - (3)(-1) = 1 + 3 = 4 neq 0
Quando o determinante é não nulo, a transformação é invertível e, em particular, injetora.

Resposta

A transformação T é injetora, pois seu núcleo é apenas o vetor nulo e det(A)=4neq0.

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