Verifique qual transformação linear abaixo é injetora: , definido por
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear , definida por , é injetora. O conteúdo é transformação linear e injetividade, e vamos usar a definição de núcleo (kernel) e também o determinante da matriz associada.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz de na base canônica. Como , temos
Passo 3
Para checar injetividade via núcleo, resolvemos T(x,y) = (0,0). Isso dá o sistema:
x + 3y = 0, -,x + y = 0
Da segunda equação vem y = x. Substituindo na primeira: x + 3x = 4x = 0, então x = 0 e y = 0. Como a única solução é o vetor nulo, o núcleo é trivial.
Passo 4
Outra forma rápida é calcular o determinante de A. Temos
det(A) = (1)(1) - (3)(-1) = 1 + 3 = 4 neq 0
Quando o determinante é não nulo, a transformação é invertível e, em particular, injetora.
Resposta
A transformação T é injetora, pois seu núcleo é apenas o vetor nulo e det(A)=4neq0.