Verifique se a transformação linear dada é injetora, sobrejetora ou bijetora.
T: M2(R) R^2, T((lla & b c & d))=(a-b, a+b)

Passo 1

O enunciado define
Tcolon M2(R) to R^2, T!l(a & b c & dr) = (,a-b,;a+b,)
Queremos saber se T é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isso vamos usar os conceitos de núcleo ( ker T) e imagem ( Im T) de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, confirmamos que T é linear. Dados
X=a & b c & d,
X'=a' & b' c' & d' e alphainR, temos
T(X+X') = l((a+a') - (b+b'),;(a+a')+(b+b')r) = (a-b,a+b) + (a'-b',a'+b') = T(X) + T(X'),
T(alpha X) = l(alpha a - alpha b,;alpha a + alpha br) = alpha,(a-b,a+b) = alpha,T(X)
Logo T é linear.

Passo 3

Agora achamos o núcleo, isto é, todas as matrizes que vão em
Somando e subtraindo as equações dá
Não há nenhuma condição sobre .

Passo 4

Isso mostra que
ker T = l0 & 0 c & dcolon c,dinRr,
que é um subespaço de dimensão 2. Como ker Tneq0, a transformação não é injetora.

Passo 5

Para ver a imagem, pegamos um vetor genérico
O sistema
é invertível (matriz ), dando
e podem ser qualquer valor. Portanto todo tem contra-imagem, logo e é sobrejetora.

Resposta

A transformação linear T não é injetora, é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora.

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