Verifique se a transformação linear dada é injetora, sobrejetora ou bijetora.
Passo 1
O enunciado define
Queremos saber se
é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isso vamos usar os conceitos de núcleo (
) e imagem (
) de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, confirmamos que
é linear. Dados
,
e
, temos
Logo
é linear.
Passo 3
Agora achamos o núcleo, isto é, todas as matrizes que vão em
Somando e subtraindo as equações dá
Não há nenhuma condição sobre .
Passo 4
Isso mostra que
que é um subespaço de dimensão 2. Como
, a transformação não é injetora.
Passo 5
Para ver a imagem, pegamos um vetor genérico
O sistema
é invertível (matriz ), dando
e
podem ser qualquer valor. Portanto todo
tem contra-imagem, logo
e
é sobrejetora.
Resposta
A transformação linear
não é injetora, é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora.