Verifique se as transformações abaixo são lineares:
F: M_{n \times n}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{n \times n}(\mathbb{R}), F(X)=A X+X, onde A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) é fixada.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
F\colon M_{n\times n}(\mathbb{R})\to M_{n\times n}(\mathbb{R}),\quad F(X)=A\,X+X
é linear, onde A é uma matriz fixa.
Para mostrar que F é linear, precisamos checar duas propriedades:
  1. Aditividade: F(X+Y)=F(X)+F(Y).
  2. Homogeneidade: F(cX)=c\,F(X) para todo escalar c\in\mathbb{R}.

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja X,Y\in M_{n\times n}(\mathbb{R}). Então
F(X+Y)=A\,(X+Y)+(X+Y)=A\,X+A\,Y+X+Y=(A\,X+X)+(A\,Y+Y)=F(X)+F(Y).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} e X\in M_{n\times n}(\mathbb{R}). Então
F(cX)=A\,(cX)+(cX)=c\,(A\,X)+c\,X=c\,(A\,X+X)=c\,F(X).

Resposta

A transformação F(X)=A\,X+X satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.

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