Verifique se as transformações abaixo são lineares:
F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, F(x, y, z)=\left(x, 2^{y}, 2^{z}\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
F\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad F(x,y,z) = \bigl(x,2^{y},2^{z}\bigr)
é linear. O conteúdo envolvido é definição de transformação linear, que exige aditividade e homogeneidade, e implica que o vetor nulo do domínio seja enviado no vetor nulo do contradomínio.

Passo 2

Lembrando a definição: F é linear se, e somente se, para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e todo escalar \alpha, vale
F(\mathbf{u}+\mathbf{v}) \;=\; F(\mathbf{u}) + F(\mathbf{v}) \quad\text{e}\quad F(\alpha\,\mathbf{u}) \;=\;\alpha\,F(\mathbf{u}).
Uma consequência imediata é que deve ocorrer
F(0,0,0) \;=\;(0,0,0).

Passo 3

Calculando a imagem do vetor nulo:
F(0,0,0) \;=\;\bigl(0,\,2^{0},\,2^{0}\bigr) \;=\;(0,1,1),
que não é (0,0,0). Logo, a condição necessária para linearidade falha.

Resposta

A transformação F não é linear.

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