Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeíra, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(1 ponto) V=\left\{\left[\begin{array}{cc}x^{2} & x+y \\\ y & y^{2}\end{array}\right], x, y \in \mathbb{R}\right\} é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define
V=\left\{\begin{pmatrix}x^{2}&x+y\\[6pt]y&y^{2}\end{pmatrix}\;\bigg|\;x,y\in\mathbb{R}\right\}
e pergunta se V é um espaço vetorial (subespaço de M_{2}(\mathbb{R})). Para isso, basta verificar se V se fecha sob adição de matrizes e multiplicação por escalar.]

Passo 2

Vamos mostrar que falha o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
A=\begin{pmatrix}1^{2}&1+1\\[4pt]1&1^{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]1&1\end{pmatrix}.
Claramente A\in V (corresponde a x=1,y=1).]

Passo 3

Calculemos 2A:
2A =2\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&4\\[4pt]2&2\end{pmatrix}.
Se 2A estivesse em V, existiriam u,v\in\mathbb{R} tais que
\begin{pmatrix}u^{2}&u+v\\[4pt]v&v^{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&4\\[4pt]2&2\end{pmatrix}.
Da entrada (2,1) segue v=2. Mas da entrada (2,2) teria v^{2}=2, ou seja v=\pm\sqrt2. Isso contraria v=2. Logo não há (u,v) que reproduza 2A, e portanto 2A\notin V.]

Resposta

A afirmativa é falsa, pois V não é fechado sob multiplicação por escalar (por exemplo, A\in V mas 2A\notin V).

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