Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeíra, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
( 1 ponto) Seja A uma matriz triangular de ordem n, então \operatorname{det}(A)=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}.

Passo 1

O enunciado afirma que sendo A=(a_{ij}) uma matriz triangular de ordem n, então
\det(A)=a_{11}\,a_{22}\cdots a_{nn}.
O que vamos usar é a definição de determinante pela fórmula de Leibniz e o fato de que, em matrizes triangulares, muitos termos dessa soma se anulam por conterem entradas zero.

Passo 2

Pela fórmula de Leibniz, para qualquer matriz quadrada A de ordem n temos
\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)},
onde S_n é o conjunto de todas as permutações de \{1,2,\dots,n\} e \operatorname{sgn}(\sigma) é o sinal de \sigma.

Passo 3

Suponha que A seja triangular superior (o caso triangular inferior é análogo). Nesse caso
a_{ij}=0\quad\text{sempre que }i>j.
Num produto \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}, se existir algum k tal que \sigma(k)<k, então a_{k,\sigma(k)}=0 e todo o produto se anula. Logo, só podem contribuir para a soma as permutações \sigma que satisfazem \sigma(i)\ge i para todo i.

Passo 4

A única permutação em S_n que satisfaz \sigma(i)\ge i para todo i é a permutação identidade \sigma(i)=i. Para ela temos \operatorname{sgn}(\sigma)=1 e
\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} =\prod_{i=1}^n a_{i,i} =a_{11}\,a_{22}\cdots a_{nn}.
Portanto na soma de Leibniz só sobra esse termo, e obtemos
\det(A)=a_{11}\,a_{22}\cdots a_{nn}.

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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