Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeíra, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
( 1 ponto) Seja
uma matriz triangular de ordem
, então
.
( 1 ponto) Seja
Passo 1
O enunciado afirma que sendo
uma matriz triangular de ordem
, então
O que vamos usar é a definição de determinante pela fórmula de Leibniz e o fato de que, em matrizes triangulares, muitos termos dessa soma se anulam por conterem entradas zero.
Passo 2
Pela fórmula de Leibniz, para qualquer matriz quadrada
de ordem
temos
onde
é o conjunto de todas as permutações de
e
é o sinal de
.
Passo 3
Suponha que
seja triangular superior (o caso triangular inferior é análogo). Nesse caso
Num produto
, se existir algum
tal que
, então
e todo o produto se anula. Logo, só podem contribuir para a soma as permutações
que satisfazem
para todo
.
Passo 4
A única permutação em
que satisfaz
para todo
é a permutação identidade
. Para ela temos
e
Portanto na soma de Leibniz só sobra esse termo, e obtemos
Resposta
A afirmativa é verdadeira.