Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(f) 
  dada por 
 ;
(f)
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação 
  que vai de 
  para 
 , ou seja, pega vetores de três dimensões e os transforma em outros vetores de três dimensões. A transformação é definida por:
Nosso objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação 
  é linear se ela respeita duas propriedades:
- Adição de vetores: Para quaisquer vetores 
e em ,  
- Multiplicação por escalar: Para qualquer vetor 
em e qualquer escalar ,  
Além disso, uma propriedade importante é que 
 , onde 
  é o vetor nulo.
Vamos verificar essas propriedades para a transforma��ão 
  dada.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se 
 .
O vetor nulo em 
  é 
 . Aplicando 
 :
Então, 
 . Isso está de acordo com a propriedade das transformações lineares.
Passo 4
Agora, vamos verificar a adição de vetores. Seja 
  e 
 .
Primeiro, calculamos 
 .
Aplicando 
  em 
 :
Simplificando:
Agora, calculamos 
 :
Somando os resultados:
Que é exatamente o mesmo que 
 . Portanto, a propriedade da adição de vetores é satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja 
  um escalar e 
 .
Primeiro, calculamos 
 .
Aplicando 
  em 
 :
Agora, calculamos 
 :
Que é exatamente o mesmo que 
 . Portanto, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como a transformação 
  satisfaz todas as propriedades de linearidade (adição de vetores, multiplicação por escalar e mapeia o vetor nulo no vetor nulo), podemos concluir que 
  é uma transformação linear.