Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(g) 
  dada por 
 ;
(g)
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificar se uma transformação 
  definida por 
  é linear. A matéria envolvida aqui é transformações lineares. Para resolver isso, precisamos lembrar das propriedades que uma transformação linear deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação 
  é linear se, para quaisquer vetores 
  e qualquer escalar 
 , as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição: 
 - Homogeneidade: 
 
Além disso, uma transformação linear sempre leva o vetor zero ao vetor zero, ou seja, 
 .
Passo 3
Vamos verificar se 
  satisfaz 
 . O vetor zero em 
  é 
 .
Calculando 
 :
Como 
  e não 
 , já podemos concluir que 
  não é uma transformação linear. Não precisamos verificar as outras propriedades porque já falhamos na condição inicial necessária para linearidade.
Resposta
A transformação 
  não é linear porque não leva o vetor zero ao vetor zero.