Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(i) 
  dada por 
  (conhecida como operador identidade);
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se uma certa transformação é linear. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e depois aplicar essas condições à transformação dada, que no caso é o operador identidade, definido por 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação 
  entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores 
  em 
  e para todo escalar 
 :
- Adição de vetores: 
 - Multiplicação por escalar: 
 
Essas propriedades garantem que a estrutura linear dos vetores seja preservada pela transformação 
 .
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas duas propriedades à transformação dada 
 .
Primeira propriedade: Adição de vetores
Vamos verificar se 
 :
- 
(já que apenas retorna o vetor)  - 
 
Então, 
  está satisfeita.
Segunda propriedade: Multiplicação por escalar
Vamos verificar se 
 :
Assim, 
  também está satisfeita.
Passo 4
Como a transformação 
  cumpre ambas as propriedades necessárias para ser linear, podemos concluir que ela é, de fato, uma transformação linear.
Resposta
Sim, a transformação 
  é linear.