Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(n) 
  dada por 
 , onde 
  são constantes (conhecida como translação segundo o vetor 
  );
(n)
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Queremos verificar se a transformação 
 , definida por 
 , onde 
  e 
  são constantes reais, é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender os critérios que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação 
  entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades:
- Aditividade: 
para quaisquer vetores e em .  - Homogeneidade: 
para qualquer vetor em e escalar .  
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a aditividade. Seja 
  e 
 . Então:
Agora, calculando 
 :
Comparando os dois resultados:
Claramente, 
  a menos que 
  e 
 .
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja 
  um escalar real e 
 . Então:
Agora, calculando 
 :
Comparando os dois resultados:
Novamente, 
  a menos que 
  e 
 .
Resposta
A transformação 
  não é linear, a menos que 
  e 
 .