Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(l) 
  dada por 
  (conhecida como inclusão de 
  em 
  );
(l)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se uma transformação, que chamaremos de 
 , é linear. A transformação dada é 
  definida por 
 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como testar se 
  satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação 
  entre dois espaços vetoriais é linear se cumprir duas propriedades principais:
- Adição de vetores: 
para todos os vetores e .  - Multiplicação por escalar: 
para todo escalar e vetor .  
Vamos verificar se a transformação 
  satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Primeiro, vamos testar a propriedade da adição. Vamos considerar dois vetores quaisquer em 
 , digamos 
  e 
 .
Calculando 
 :
Agora, calculando 
 :
Vemos que 
 , então a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja 
  um escalar qualquer e 
  um vetor em 
 .
Calculando 
 :
Agora, calculando 
 :
Vemos que 
 , então a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como a transformação 
  cumpre as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar, podemos concluir que 
  é uma transformação linear.