Verifique se u pertence ao subespaço vetorial V. u=(1,0,-1) e V=[(1,1,-1),(1,1,0)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para verificar se o vetor u = (1, 0, -1) pertence ao subespaço vetorial V, que é gerado pelos vetores (1, 1, -1) e (1, 1, 0). A gente vai usar conceitos de combinação linear para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que pode ser formado por combinações lineares dos vetores que o geram. No nosso caso, V é formado por todas as combinações lineares de (1, 1, -1) e (1, 1, 0). Isso quer dizer que qualquer vetor em V pode ser escrito como a(1, 1, -1) + b(1, 1, 0), onde a e b são números reais.

Passo 3

Agora, para verificar se o vetor u = (1, 0, -1) está em V, precisamos descobrir se existem valores de a e b que satisfazem a seguinte equação vetorial:
(1, 0, -1) = a(1, 1, -1) + b(1, 1, 0)

Passo 4

Vamos quebrar essa equação em componentes individuais. Isso significa que cada coordenada do vetor à esquerda deve ser igual à soma das correspondentes coordenadas da combinação linear à direita. Assim, temos:
  1. Na primeira coordenada:
1 = a cdot 1 + b cdot 1 Rightarrow a + b = 1
  1. Na segunda coordenada:
0 = a cdot 1 + b cdot 1 Rightarrow a + b = 0
  1. Na terceira coordenada:
-1 = a cdot (-1) + b cdot 0 Rightarrow -1 = -a

Passo 5

Vamos analisar as equações que obtivemos:
  1. a + b = 1
  2. a + b = 0
  3. -1 = -a Rightarrow a = 1
Observamos que temos a = 1 a partir da terceira equação. Substituindo esse valor na primeira equação:
1 + b = 1 Rightarrow b = 0
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a segunda equação:
1 + 0 = 1, que deveria ser igual a 0. Vemos que isso não é verdade, pois 1 neq 0. Isso significa que não existe um par de valores a e b que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

Como não conseguimos encontrar valores de a e b que satisfaçam todas as equações, podemos concluir que o vetor u = (1, 0, -1) não pertence ao subespaço vetorial V.

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